統計学です。

統計量 正規分布と分散の加法性の演習問題です。
自分なりに考えておりますがどんどん思考の渦に巻き込まれわからなくなってきてしまいました。考え方のコツ等をご教授頂ければ幸いです。



以下問題文です。
部品1000個
を箱に詰めて出荷するが、部品の個数を数えるのではなく重量を測定することで箱詰め数量を管理したい。どのようにすればよいか方法を検討し報告書にまとめよ。

以下に条件を示す。
①部品、及び箱の重量
【部品一個の重さ】平均:5g 標準偏差:0,05g
【箱一個の重さ】平均:100g 標準偏差:5g

②出荷品質
混入率:0.05%以下
※混入率:1000個ではないものが出荷される割合

方法を決定した背景や根拠なども含め答えよ。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2019/07/24 12:43

「平均:5g 標準偏差:0.05g」のものを、「1000 個集めたサンプル」をたくさん採ってきたときに、その「1000個のサンプル」の平均値がどのように分布するか分かりますか？

これ、多分「大数の法則」のところで習ったと思います。
「1000個のサンプル」の「部品の重さ」は、「 5(g) *1000(個) = 5000(g)」の周りに分布しますね。
つまり「1000個のサンプル」の「部品の重さ」の平均は 5000 g。
当たり前といえば当たり前。

では、標準偏差も 1000倍になるかというと、上にばらつくものと下にばらつくものが相殺されるので1000倍にはなりません。ではどの程度か、というと「√1000 倍」にしか増えないのです。（これは、「標準偏差」のもとになる「分散」の計算方法を考えれば分かります。ああ、それが「分散の加法性」か）
ということで、「1000個のサンプル」の「部品の重さ」の標準偏差は
　0.05(g) * √1000 = 1.58113 ≒ 1.5811 (g)

ああ、これだと「箱の重さのばらつき」の方がよほど大きいですね。
「部品 1000個」を箱詰めしたときに
・部品の重さ：平均 5000g、標準偏差 1.5811g
・箱の重さ　：平均 100g、標準偏差 5g
というわけです。

では、この「１箱」の重さはというと、
　平均：5100g
ですが、標準偏差は？　これも、双方が「プラス側」「マイナス側」で相殺されることもありますから、単純な足し算ではありません。
このような場合には、「平均 5100g に対する相対誤差の重畳」と考えて
　合計の相対誤差 = √[(1.5811/5100)^2 + (5/5100)^2 ] = (1/5100) * √(1.5811^2 + 5^2)
　　　　　　　　≒ (1/5100) * 5.244
（これも、考え方としては「分散の加法性」かな？）
つまり標準偏差は
　平均 * 相対誤差 = 5.244
ということになります。

これにより、出荷する箱は
・平均：5100 g
・標準偏差：5.244 g
というところまで分かりました。

このような箱に対して、重さをはかることで「１個 5g の部品の過不足」は判定できますか？
あとはご自分で考えてみてください。

では、箱詰め前であれば、「何 g 以上、あるいは何 g 以下だったら、信頼度 95％以上で部品に過不足あり」と判定できるでしょうか？

こんなことをいろいろと考察さればよろしいのではありませんか？

この回答へのお礼

ありがとうございます。おかげさまで問題を解くことができました。

お礼日時：2019/07/25 18:11