項が3つある関数のxでの微分を教えていただけないでしょうか？

項が3つあって苦戦してます。できれば過程も書いていただけると助かります！

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/09/21 21:35

項が3つ？ 因子が3つじゃないの。

y = uvw のとき、dy/dx = (du/dx)vw + u(dv/dx)w + uv(dw/dx) を使えばいい。
vw = z と置いて積の微分法則を２度使えば、
dy/dx = (du/dx)z + u(dz/dx) = (du/dx)vw + u{ (dv/dx)w + v(dw/dx) } = (du/dx)vw + u(dv/dx)w + uv(dw/dx).

u = (1-x)^n, v = x^n, w = 1-2x に適用すれば、
y = { n(1-x)^(n-1)・(-1) }(x^n)(1-2x) + { (1-x)^n }{ nx^(n-1) }(1-2x) + { (1-x)^n }(x^n)(-2)
= { (1-x)^(n-1) }{ x^(n-1) }{ (-n)x(1-2x) + (1-x)n(1-2x) + (1-x)x(-2) }
= { (1-x)^(n-1) }{ x^(n-1) }{ (4n+2) x^2 - (4n+2)x + n }.
↑これが答え。

u と du/dx の共通因子として (1-x)^(n-1),
v と dv/dx の共通因子として x^(n-1) があることに注目すれば、
(du/dx)vw と u(dv/dx)w と uv(dw/dx) から共通因数として (1-x)^(n-1) と x^(n-1) が括り出せる。

この辺のくだりは、真数条件を度外視するのなら、対数微分を使って
log y = n log(1-x) + n log(x) + log(1-2x) より
y’/y = n (-1)/(1-x) + n 1/x + (-2)/(1-2x) すなわち
dy/dx = y{ n (-1)/(1-x) + n 1/x + (-2)/(1-2x) } = { (1-x)^n }(x^n)(1-2x){ n (-1)/(1-x) + n 1/x + (-2)/(1-2x) } = 同上.
と処理すれば簡明。ただし、実数関数として微分すると x の範囲が制限されてしまう。
複素関数の微積分が未習なら、冒頭のように積の微分法を使ったほうがいいでしょう。

この回答へのお礼

お礼をさせて頂きます。ご回答してくださった方ありがとうございました。感謝申し上げます。

お礼日時：2019/09/22 00:23

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/09/21 20:44

基本的には順番に微分ですが、その後の整理のほうが大変だと思います。

y=(1-x)^n x^n (1-2x)
y'=(-1)n(1-x)^(n-1) x^n (1-2x) + (1-x)^n nx^(n-1) (1-2x) + (1-x)^n x^n (-2)
=-n(1-x)^(n-1) x^n (1-2x) + (1-x)^n nx^(n-1) (1-2x) - 2(1-x)^n x^n
=-n(1-x)^(n-1) (x^n - 2x^(n+1)) + (1-x)^n (nx^(n-1) - 2nx^n) - 2(1-x)^n x^n
=-n(1-x)^(n-1) (x^n - 2x^(n+1)) + (1-x)^n (nx^(n-1) - 2nx^n - 2x^n)
=-n(1-x)^(n-1) (x^n - 2x^(n+1)) + (1-x)^n (nx^(n-1) - 2(n+1)nx^n) …(p)

=(1-x)^(n-1) (-nx^n + 2nx^(n+1)) + (1-x)^(n-1) ((1-x)nx^(n-1) - 2(n+1)(1-x)nx^n)
=(1-x)^(n-1) (-nx^n + 2nx^(n+1)) + (1-x)^(n-1) (nx^(n-1) - nx^n - 2n(n+1)x^n + 2n(n+1)x^(n+1))
=(1-x)^(n-1) (-nx^n + 2nx^(n+1) + nx^(n-1) - nx^n - (2n^2 + 2n)x^n + (2n^2 + 2n)x^(n+1))
=(1-x)^(n-1) (nx^(n-1) - 2nx^n - (2n^2 + 2n)x^n + 2nx^(n+1) + (2n^2 + 2n)x^(n+1))
=(1-x)^(n-1) (nx^(n-1) - (2n^2 + 4n)x^n + (2n^2 + 4n)x^(n+1))
=(1-x)^(n-1) (nx^(n-1) - 2n(n+2)x^n + 2n(n+2)x^(n+1))


あとは、x^nを先に計算してから微分するほうが多少手間は省けます。
上記の(p)と(q)は同じになります。

y=(1-x)^n x^n (1-2x)
=(1-x)^n (x^n - 2x^(n+1))

y'=-n(1-x)^(n-1) (x^n - 2x^(n+1)) + (1-x)^n (nx^(n-1) - 2(n+1)x^n) …(q)

この回答へのお礼

ありがとうございました。感謝申し上げます。

お礼日時：2019/09/22 00:23

No.1 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/09/21 20:26

y´=-n(1-x)^(n-1)・x^n・(1-2x)+n(1-x)^n・x^(n-1)・(1-2x)-2(1-x)^n・x^n

=-(1-x)^(n-1)・x^(n-1){nx(1-2x)-n(1-x)(1-2x)+2(1-x)x}
=-(1-x)^(n-1)・x^(n-1){n(-2x²+x)-n(2x²-3x+1)+2(-x²+x)}
=-(1-x)^(n-1)・x^(n-1)(-2nx²+nx-2nx²+3nx-n-2x²+2x)
=-(1-x)^(n-1)・x^(n-1){-2(2n+1)x²+2(2n+1)x-n}
=(1-x)^(n-1)・x^(n-1){2(2n+1)x²-2(2n+1)x+n}

この回答へのお礼

ありがとうございました。感謝申し上げます。

お礼日時：2019/09/22 00:23