ボレル可測集合、可測集合の範囲です。 [0,∞)上で定義されたf(x)=sin{1/(sin(1/x

ボレル可測集合、可測集合の範囲です。
[0,∞)上で定義されたf(x)=sin{1/(sin(1/x))}の零点集合、即ち、{x; f(x)=0}が零点集合であることを詳しく証明して頂きたいです。

No.2 ベストアンサー 回答者： rinkun 回答日時： 2020/06/27 09:23

質問への疑問が2点

1. f(x)はx=0で定義されるか? 定義域は(0,∞)では?
2. 『{x; f(x)=0}が零点集合』では問題にならない。『{x; f(x)=0}が零集合』?
前者は回答には影響ないと思う。後者は零集合の意味として回答する。

f(x)=0だと1/sin(1/x)=2*n*pi nは整数
sin(1/x)=1/(2*n*pi)
1/x=Arcsin(1/(2*n*pi))+2*m*pi mは整数
x=1/(An+2*m*pi)
ここでAn=Arcsin(1/(2*n*pi))は主値とする。
これから、f(x)=0となるxは高々可算個といえる。
{x; f(x)=0}は可算集合なので零集合である。
OK?

No.1 回答者： とんねるず 回答日時： 2020/06/27 03:11

そんなニッチな分野は自分の学部の同級生に聞いた方がいいと思いますが

優越感を感じたい小物に映りました