集合と論理について

画像の定理11.12(2)の問題で、証明で
「ドモルガンの公式よりClxA=X-Intx(X-A)=…」と展開していますが、そもそも∪{U:U⊂X-A, UはXの開集合}が命題5.4にあるドモルガンの公式と形が少し掛け離れていてしっくり来なかったため、論理式を使って最後の行の∩{F:A⊂F, FはXの閉集合}まで展開を試みました。が、上手く行かずこちらに質問させて頂きました。

「x∈ClxA」⇔「x∈X-Intx(X-A)」⇔「x∈X-∪{U:U⊂X-A, UはXの開集合}」⇔「x∈Xかつx∉∪{U:U⊂X-A, UはXの開集合}」
という感じで考えていたのですが、この後が良く分からなくなってしまいました。

お手数おかけしますが、何卒宜しくお願い致します。

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/08 11:18

x∈X-∪{U:U⊂X-A, UはXの開集合}…(1)

とする

x∈U⊂X-A
UはXの開集合
となるUが存在すると仮定すると
x∈∪{U:U⊂X-A, UはXの開集合}
となって(1)に矛盾するから

x∈U⊂X-A
かつ
UはXの開集合となるUが存在しないから

U⊂X-A
かつ
UはXの開集合となる任意のUに対して
x∈X-U
となるから

x∈∩{X-U:U⊂X-A, UはXの開集合}
だから

x∈X-∪{U:U⊂X-A, UはXの開集合}
↓
x∈∩{X-U:U⊂X-A, UはXの開集合}
が成り立つから

X-∪{U:U⊂X-A, UはXの開集合}⊂∩{X-U:U⊂X-A, UはXの開集合}…(2)

---------

x∈∩{X-U:U⊂X-A, UはXの開集合}
とする

x∈∪{U:U⊂X-A, UはXの開集合}
と仮定すると
x∈U⊂X-A…(3)
UはXの開集合
となるUが存在する

x∈∩{X-U:U⊂X-A, UはXの開集合}
だから
U⊂X-A
UはXの開集合
となる任意のUに対して
x∈X-U
となって(3)に矛盾するから
x∈X-∪{U:U⊂X-A, UはXの開集合}
だから

x∈∩{X-U:U⊂X-A, UはXの開集合}
↓
x∈X-∪{U:U⊂X-A, UはXの開集合}
が成り立つから

∩{X-U:U⊂X-A, UはXの開集合}⊂X-∪{U:U⊂X-A, UはXの開集合}
↓これと(2)から

X-∪{U:U⊂X-A, UはXの開集合}=∩{X-U:U⊂X-A, UはXの開集合}

この回答へのお礼

返答遅くなりすみません！
ご回答ありがとうございました
助かりますm(_ _)m

お礼日時：2023/01/15 11:52

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/01/08 11:24

以下で集合の「含む」の記号は一般的な ⊂ を使う。

定義
　Xの部分集合 F (⊂ X) が閉集合であるとは X-F が開集合となる
　ことである．

したがって、最後は　X-U → F とするだけ。