画像の定理11.12(2)の問題で、証明で
「ドモルガンの公式よりClxA=X-Intx(X-A)=…」と展開していますが、そもそも∪{U:U⊂X-A, UはXの開集合}が命題5.4にあるドモルガンの公式と形が少し掛け離れていてしっくり来なかったため、論理式を使って最後の行の∩{F:A⊂F, FはXの閉集合}まで展開を試みました。が、上手く行かずこちらに質問させて頂きました。
「x∈ClxA」⇔「x∈X-Intx(X-A)」⇔「x∈X-∪{U:U⊂X-A, UはXの開集合}」⇔「x∈Xかつx∉∪{U:U⊂X-A, UはXの開集合}」
という感じで考えていたのですが、この後が良く分からなくなってしまいました。
お手数おかけしますが、何卒宜しくお願い致します。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
x∈X-∪{U:U⊂X-A, UはXの開集合}…(1)
とする
x∈U⊂X-A
UはXの開集合
となるUが存在すると仮定すると
x∈∪{U:U⊂X-A, UはXの開集合}
となって(1)に矛盾するから
x∈U⊂X-A
かつ
UはXの開集合となるUが存在しないから
U⊂X-A
かつ
UはXの開集合となる任意のUに対して
x∈X-U
となるから
x∈∩{X-U:U⊂X-A, UはXの開集合}
だから
x∈X-∪{U:U⊂X-A, UはXの開集合}
↓
x∈∩{X-U:U⊂X-A, UはXの開集合}
が成り立つから
X-∪{U:U⊂X-A, UはXの開集合}⊂∩{X-U:U⊂X-A, UはXの開集合}…(2)
---------
x∈∩{X-U:U⊂X-A, UはXの開集合}
とする
x∈∪{U:U⊂X-A, UはXの開集合}
と仮定すると
x∈U⊂X-A…(3)
UはXの開集合
となるUが存在する
x∈∩{X-U:U⊂X-A, UはXの開集合}
だから
U⊂X-A
UはXの開集合
となる任意のUに対して
x∈X-U
となって(3)に矛盾するから
x∈X-∪{U:U⊂X-A, UはXの開集合}
だから
x∈∩{X-U:U⊂X-A, UはXの開集合}
↓
x∈X-∪{U:U⊂X-A, UはXの開集合}
が成り立つから
∩{X-U:U⊂X-A, UはXの開集合}⊂X-∪{U:U⊂X-A, UはXの開集合}
↓これと(2)から
X-∪{U:U⊂X-A, UはXの開集合}=∩{X-U:U⊂X-A, UはXの開集合}
No.2
- 回答日時:
以下で集合の「含む」の記号は一般的な ⊂ を使う。
定義
Xの部分集合 F (⊂ X) が閉集合であるとは X-F が開集合となる
ことである.
したがって、最後は X-U → F とするだけ。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 開集合・閉集合について 4 2022/11/04 13:53
- Access(アクセス) お世話になっています いまクエリを作っています。。 デザインビューの画面の集計の欄で、「グループ化」 4 2022/09/17 17:03
- 数学 複素関数と実関数のテーラー展開の違いについて 1 2022/08/09 06:18
- 大学受験 資格試験などの勉強で過去問題集の解説を理解する時、分からない用語を調べてどうするのが良いですか? 問 3 2023/06/18 17:18
- 小学校 至急、小6、運動会スタッフの立候補しました。意気込みを書いた文章に何かアドバイス頂けたら…! 4 2022/09/07 22:36
- 政治 公開の場で行われた政治上の演説や陳述,裁判での公開の陳述は,ある一人の著作者のものを編集して利用する 1 2022/06/20 18:38
- その他(職業・資格) 至急回答お願いします。 12月初旬に衛生管理者試験を受験します。 そのために、過去問の問題集を購入し 1 2022/10/13 18:33
- 数学 位相 2 2023/05/02 18:22
- PHP WordpressのPHPを安全に編集する方法 1 2022/08/04 01:43
- 数学 場合の数、確率 18 京都大学 多項定理 12 2023/06/24 03:09
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
完全数はどうして「完全」と名...
-
直角三角形じゃないのに三平方...
-
円周角の定理を使う問題につい...
-
至上最難問の数学がとけた
-
行列のn乗について
-
数A nは自然数とする。n , n+2 ...
-
数IIIの定理、受験で使っていい...
-
合同方程式13x≡7(mod84)の答え...
-
大学の記述入試で外積は使えま...
-
十分性の確認について
-
「整数係数方程式の有理解の定...
-
合同式の性質についてです。 な...
-
非正規形の微分方程式
-
lim[x→+∞](x^n/e^x)=0 の証明
-
三角形の3辺の長さの性質の証明
-
x^100を(x+1)^2で割ったときの...
-
ディリクレ指標について( mod=5...
-
モーレの定理
-
3以上9999以下の奇数aで、(a^2)...
-
複素関数と実関数のテーラー展...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
過去に 「ii) f(z)=1/(z^2-1) r...
-
【遊びのピタゴラスイッチはな...
-
直角三角形じゃないのに三平方...
-
大学の記述入試で外積は使えま...
-
lim[x→+∞](x^n/e^x)=0 の証明
-
定理と法則の違い
-
至上最難問の数学がとけた
-
実数の整列化について
-
十分性の確認について
-
AとBはn次正方行列とする。 積A...
-
ほうべき(方巾)の定理について
-
ファルコンの定理は解かれまし...
-
パップスギュルダンの定理について
-
オイラーの多面体定理の拡張
-
微分形式,微分幾何学の参考書
-
ディリクレ指標について( mod=5...
-
x^100を(x+1)^2で割ったときの...
-
nを整数とする。このとき、n^2...
-
大学数学 解答
-
4.6.8で割るとあまりはそれぞれ...
おすすめ情報