非正規形の微分方程式

画像のように、

非正規形の微分方程式が特異解をもつ場合の議論に関して、
ｆ（x,y,y`,y``,,,,y^(n))＝０（非正規形）において、
ｆはn+2変数x,y,y`,y``,,,,y^(n)について偏微分可能かつその偏導関数が連続とする。
ある点（x,y,y`,y``,,,,y^(n)）＝（x0,yo,,,)においてｆ＝０および∂f/∂y^(n)≠０とする。
このとき、陰関数定理により、（x0,yo,,,)の近傍でｙ（ｎ）に関して滑らかにとけるから
ある偏微分可能な関数Fを用いてｙ（ｎ）＝F（x,y,y`,y``,,,,ｙ＾（ｎ－１））と正規形で表せる。

とあるのですが、
（疑問）
①滑らかに解けるとはどういうことなのでしょうか？
また、Fは偏微分可能とはｙ＾（ｎ）以外のｎ＋１変数においてですか？
②２変数の場合の陰関数定理では、諸々の条件はありますが、
ｆ(x,y)=0においてｆがC^ｍ級ならばｙ＝F(x)と解いたFに関してC＾ｍ級となります。
これが一般のｎ変数に拡張しても成り立つのですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/04/24 18:39

陰関数定理は、微分方程式そのものとは別の話です。

未知数 n+2 個の方程式 f(x,y,z1,z2,…,zn)=0 について
(x,y,z1,z2,…,zn)=(x0,y0,…) のとき f=0 かつ ∂f/∂zn≠０ が成り立つならば、
(x,y,z1,z2,…,zn)=(x0,y0,…) の近傍で f(x,y,z1,z2,…,zn)=0 は
zn = F(x,y,z1,z2,…,z[n-1]) と変形できます。これが、陰関数定理です。
f が Cm 級なら、F も Cm 級です。
「滑らかにとける」というのは、このことを言っているのだと思います。

以上の話に (x,y,z1,z2,…,zn)=(x,y,y',y'',…,y^(n)) を代入すると、
n階微分方程式 f(x,y,y',y'',…,y^(n))=0 が y^(n) = F(x,y,y',y'',…,y^(n-1)) に
変形できるという話になります。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
わかりました。

お礼日時：2019/04/25 03:31