長さがマイナスの答えのとき、どう解釈すればよいのか

△ＡＢＣで、ＡＢ＝１５，ＢＣ＝９，ＣＡ＝４√６、のとき、
△ＡＢＣの外接円の点Ｃにおける接線と直線ＡＢとの交点をＤとする。
ＢＤの長さを求めよ。

正しい図は、交点Ｄが点Ｂを延長した側にある。
これを間違えて、点Ａを延長した側に点Ｄがあるとして計算を次のようにしました。
ＤＢをｘとおいて、ＣＤをｙとして
方べきの定理から、x^2-15x=y^2
△ＤＢＣに余弦定理をつかってy^2=x^2+9^2-2・x・9・(7/9)
(余弦定理からcosB=7/9)
２つの式から、x=-81とでました。
ここから次のように解釈して答えとしていいでしょうか。よろしくおねがいします。
xの値がマイナスだから、xの表す向きはマイナスで、交点Ｄが点Ｂを延長した側にある。
よって、ＢＤは81

No.3 ベストアンサー 回答者： momordica 回答日時： 2010/11/11 22:44

> ここから次のように解釈して答えとしていいでしょうか。

良くはないでしょう。

この場合、Dが線分ABのどちら側の延長線上にあるか分からないとして、
仮に、(1)Aの側にあるときBD=ｘ、(2)Bの側にあるときBD=-ｘとすると、
（直線AB上でBを基準にしたDの相対的な位置をB→Aの向きを正として
　表わしたものをｘとする、と言っても構いません）
(1)のとき、BD=x、AD=x-15、CD=y、cos∠DBC=7/9、
(2)のとき、BD=-x、AD=-x+15、CD=y、cos∠DBC=-7/9
ですから、これらをそれぞれ法べきの定理・余弦定理に当てはめて
方程式を作ると、(1)のときも(2)のときも全く同じ式になります。

したがって、この連立方程式を解き、出てきたｘの値がもし正であれば
Aの側、負であればBの側にDが存在し、そのｘの絶対値がBD間の距離
であると、確かに言えます。

しかし、以上のようなことは、自明ではありません。
Dが反対側にある場合も、BD=-ｘとおけば同じ方程式が成り立つことを
確認したうえでの解答であるなら問題はありませんが、それをせずに
たまたま負になったから反対側ということだろう、というのでは、ただの
あてずっぽうでしかありません。
答案も、全くの見当違いの解法でたまたま同じ答えになっただけ、
という扱いにされるでしょう。

まあ、マークシートの問題なら、せっかく出てきた答えが逆に条件を
満たしていることさえ確認さえすればOKというしかないですけどね。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます

したがって、この連立方程式を解き、出てきたｘの値がもし正であれば
Aの側、負であればBの側にDが存在し、そのｘの絶対値がBD間の距離
であると、確かに言えます。

このことは、この問題に限っていえることで他の問題の場合はいえない。
ということなのか、一般的にいえることではあるが、長さをプラスにした
場合で確認する必要があるのか。
同じことですが、自明でないということは、マイナスの場合、逆方向としてよいが、
説明がなければならない。ということなのでしようか。
もう一度説明があればうれしいと思います。

お礼日時：2010/11/12 08:33

No.4 回答者： momordica 回答日時： 2010/11/12 22:19

#3です。

> このことは、この問題に限っていえることで他の問題の場合はいえない。

そういうことです。
今回の問題ではたまたま、逆方向にXをとっても同じ式になりましたが、このような
ことが一般に成り立つと考えるのは明らかに無理があります。
多くの場合は、誤った図をもとに式を立てれば、完全に間違った式になり、
真の解の符号を逆にしたものなどではなく、全く無関係の解が得られるでしょう。

なお、もし仮に他の問題でも成り立つようなことであったとしても、広く定理として
認められていることでないのなら、やはり答案ではそこから示してやる必要が
あります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます
多くの場合は、誤った図をもとに式を立てれば、完全に間違った式になり、
真の解の符号を逆にしたものなどではなく、全く無関係の解が得られるでしょう。
間違った図のうちで長さの方向を逆にした場合、出てきた答えの解釈をどうするのか
興味がありました。長さの方向が逆以外の間違った図の場合は、考えるのは論外であるが。

お礼日時：2010/11/15 11:02

No.2 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2010/11/11 17:12

書き込みミス。

(誤)方べきの定理から、y＾2＝x(x＋5)　
(正)方べきの定理から、y＾2＝x(x＋15)

No.1 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2010/11/11 17:06

勝手な解釈して、いいかどうかの問題ではない。

完全な誤答。

方べきの定理から、y＾2＝x(x＋5)　←　ここがすでに違ってる。
cosB=7/9から、cos(∠ＤＢＣ)＝cos(π-Ｂ)＝-7/9.
△ＤＢＣに余弦定理を使うと、y^2=x^2+9^2-2・x・9・(-7/9) ＝x^2+81＋14x　だから、x＝81。