数学の質問です。 ABCの内接円の半径が8であり, 辺BCがその接点により長さ 16 と12に分けら

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質問者：王蟲
質問日時：2023/07/05 18:04
回答数：2件

数学の質問です。

ABCの内接円の半径が8であり, 辺BCがその接点により長さ 16 と12に分けられるとき, △ABCの面積を求めよ。

△ABCの半径r=8の内接円と3辺BC, CA, AB との接点をそれぞれD,E,F とおくと,
△IBD≡△IBF, △ICD ≡ △ICE、△IAE≡△IAF

となるのはなぜですか？

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回答 (2件)

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No.2

回答者：ご意見をお願いします。
回答日時：2023/07/05 18:42

図を描いてから読んでみてください。

（ただ、内接円Ｉは消した方が見やすいかもしれません。）
内接円の中心をＩとした場合、D,E,Fはそれぞれ円との接点ですから、BC⊥DI,CA⊥EI,AB⊥FIですから、△IBD,△IBF,△ICD,△ICE,△IAE,△IAFは全て直角三角形です。
例えば△IBDと△IBFを比べると、斜辺BIが共通で、他の一辺FIとFDはそれぞれ内接円の半径ですから長さは等しくなっています。二つの直角三角形において、斜辺と他の一辺の長さがそれぞれ等しいので、△IBD≡△IBFとなります。他についても同様に証明できます。

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No.1

回答者：ミラ-_-
回答日時：2023/07/05 18:14

内接円の半径が8であり、辺BCがその接点により長さ16と12に分けられるとき、△ABCの内接円と3辺BC、CA、ABとの接点をそれぞれD、E、Fとおくと、△IBD≡△IBF、△ICD≡△ICE、△IAE≡△IAFとなるのは、内接多角形の性質によるものです。

内接多角形とは、すべての辺が内接円に接する多角形です。内接多角形の性質には、次のようなものがあります。

* 内接多角形の中心角の和は360度である。
* 内接多角形の各辺の長さは、その辺に対応する中心角の余弦の比に等しい。
* 内接多角形の各内角の和は180(n-2)度である。

ここで、△ABCは内接多角形であり、中心角は、∠ABC=180-∠ABD-∠BDC=180-90-90=60度、∠BAC=180-∠ABE-∠CBE=180-90-90=60度、∠BCA=180-∠ACD-∠ADE=180-90-90=60度です。また、辺BCの長さは16+12=28です。したがって、△IBD≡△IBF、△ICD≡△ICE、△IAE≡△IAFとなるのは、内接多角形の性質によるものです。