楕円の先端半径について教えてください．

長軸が2a，短軸が2bの楕円の先端半径ρが
ρ＝b^2/a
で表せるようなのですが・・・．

どうしてこのような式で表せるかを調べているのですが分かりません．

分かる方，もしくは参考となるページをご存知の方がいらっしゃったら
教えてください．
宜しくお願いします．
.

No.3 ベストアンサー 回答者： nag0720 回答日時： 2009/10/03 10:27

楕円の曲率と曲率半径は、下記の式で求められます。

x=acost, y=bsint, t:真円の場合の角度
曲率:k=ab/((asint)^2+(bcost)^2)^(3/2)
曲率半径:R=1/k

先端半径ρが、点(a,0)での曲率半径のことだとすれば、t=0として計算すれば、
ρ=b^2/a
となります。


上記の式を使わないで計算するとしたら、曲率半径の定義通りの計算で求めることもできます。

点A(a,0)に近い点P(p,b/a√(a^2-p^2))を取り、
線分APの二等分線とx軸との交点Q(q,0)を求めると、
q=(a+p)(a^2-b^2)/(2a^2)
となります。
ここで、点Pを点Aに近づけると、
q=(a^2-b^2)/a
よって、曲率半径は、
a-q=a-(a^2-b^2)/a=b^2/a

No.2 回答者： vespasian 回答日時： 2009/10/03 10:14

楕円の方程式を

　(x/a)^2+(y/b)^2=1
と表した場合、
　　ρ=b^2/a, at x=a,y=0
ρ=a^2/b, at x=0,y=b
となる。

No.1 回答者： onigiri_3 回答日時： 2009/10/03 09:18

先端半径ではなく、曲率半径では？

参考URL：http://flab.ces.kyutech.ac.jp/~fujio/index.files …