螺旋の周長の求め方

半径rの円筒に巻きつけた糸をもどしながらできる螺旋上のある点から別の点までの周長の算出方法を知りたいのですが、どなたかご教示ください。なお、当方、高校程度の数学しか知識がありません。できるだけ、やさしくおねがいしたいのですが。

No.5 ベストアンサー 回答者： siegmund 回答日時： 2004/04/26 01:19

No.2 の mame594 さんが正しい答を出しておられると思います．

これはいわゆる伸開線(インボリュート，involute)と呼ばれる問題です．
糸を巻き付ける図形は円
(質問文では円筒になっていますが，２次元平面で考えればよいので円で十分です)
だけでなくて，いろいろな図形が可能です．

さて，mame594 さんの長さの式
(1)　　s = ∫[0→α] {(1+3θ^2+θ^4) / (1+θ^2)}^(1/2)} dθ
は正しい式(私も同じ答になりました)と思いますが，
積分結果は初等関数の組み合わせでは表せません．
この種の積分は一般に楕円積分と呼ばれる積分の組み合わせで表現されます．

ちょいと数値積分をしてみました．
α=π/2　　s = 2.26449
α=π　　　s = 6.54664
α=2π 　　s = 22.0094
です．円の半径を１としてあります．
半径 a なら，上の数値を a 倍して下さい．

今の螺旋はアルキメデスの螺旋とは違います．
アルキメデスの螺旋は
(2)　　r = bθ
であらわされます．
LP レコードの溝がほぼアルキメデスの螺旋になっています．

他に，対数螺旋(ベルヌーイ螺旋)
(3)　　r = e^(cθ)
や，双曲線螺旋
(4)　　r = d/θ
があります．

No.6 回答者： noname#6587 回答日時： 2004/04/26 15:21

こんにちは。

解析的には＃２，＃５の方が答えを出しておられます。
　何か仕事で使うとしたら、、、
　実用的には、エクセルで被積分関数を描いてみるとわかるのですが、α＞π（パイ）では保々直線になるようです。
　いくつかの区間に分ければ、近似式が出せそうです。
　数学的な興味の質問ならば、余計なアドバイスですが。

No.4 回答者： poohhoop 回答日時： 2004/04/24 08:05

＃３です。

「ｎ回巻き戻した場合はｎ×２πｒ」
は間違い

ｎ×√(ｘ＾２＋（２πｒ）＾２）
でした。

No.3 回答者： poohhoop 回答日時： 2004/04/24 08:01

この問題は螺旋の１つの周回と隣の周回の距離（離れた距離）が必要ですね。

この距離をｘとすると
１周回の距離abは√(ｘ＾２＋（２πｒ）＾２）－－－ピタゴラスの定理（３平方の定理）

ｎ回巻き戻した場合はｎ×２πｒです。
もし糸を密着して巻いた場合はｘは糸の直径となります。ただしｘがｒに比べて非常に小さい場合はａｂの距離を２πｒで近似していいと思います。

（下の図でわかるかな）

｜　　 ／｜
｜　 ／ 　｜
｜／　 　｜　
ｂ　　　 　｜　＿＿＿　　　　　　　　　 　　 ｂ＿＿＿
｜　　 　｜　　↑　　　　　　　　　 　　　 ／　　↑
｜ 　　 　｜　　｜　　　　　　　　 　　／　　　｜
｜　　 ／｜　　｜　　⇒　　　　 　／　　　 　｜
｜　 ／ 　｜　　ｘ　　　　　　　 ／　　　　　　 ｘ
｜／ 　　｜　　｜　　　　　 ／　　　　　 　 　｜
ａ 　　　　 ｜ ＿↓＿　　ａ／　　　　　　 　 ＿↓＿
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　｜←－２πｒ－－→｜

No.2 回答者： mame594 回答日時： 2004/04/23 14:00

半径ａの円を原点中心に置く．

（ａ，０）から糸を反時計回りに伸ばし始めて，角θの位置まで伸ばしたとする．
この時，円周上の位置をＡ糸の先の位置をＰとすると，∠ＯＡＰは直角だから，
ＯＰ＾２＝ＯＡ＾２＋ＡＰ＾２　となる．
ＯＰ＝ｒとおく　　ＯＡ＝ａで一定
ＡＰ＝ａθ（それまでに伸ばした糸の長さになる）
よって，ｒ＾２＝ａ＾２（１＋θ＾２）　　　ｒ＝ａ（１＋θ＾２）＾（１／２）　　

弧の長さは直交座標ではΔｓ＝（（Δｘ）＾２＋（Δｙ）＾２）＾（１／２）　を積分するが，
今回のような極座標では，Δｓ＝（（Δｒ）＾２＋（ｒΔθ）＾２）＾（１／２）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝（ｒ＾２＋（Δｒ／Δθ）＾２）＾（１／２）Δθを積分する．
ｄｒ／ｄθ＝ａθ（１＋θ＾２）＾（－１／２）　だから，
求める弧の長さは，最初から角αまで伸ばしたとして，
ｓ＝ａ∫[０→α]（（１＋３θ＾２＋θ＾４）／（１＋θ＾２））＾（１／２）ｄθ
となるのではないかと．解析的には解けないと思います．

No.1 回答者： ryuta_mo 回答日時： 2004/04/23 00:48

展開図を描いてみるとわかりやすいと思います。

半径rなら円周は2πr
横の長さが2πr*巻いた数
縦の長さが円柱のまいてある部分の高さ
縦と横は垂直なので三平方の定理が使えます。

高さ１０　半径５の円柱に2回転させれば
√( (2*π*5*2)^2 + １０^2 )
10 √(4π^2+1) になります。

この回答への補足

1件ご回答をいただきました。ありがとうございました。
質問の趣旨がうまくつたわらなかったようで、ちょっと私どもの思惑と違っていましたので、今一度質問させていただきます。

質問
一般に、「アルキメデスの螺旋」と呼ばれているものだと思うのですが、原点からスタートするのではなく、半径rの円周上からスタートします。円筒に巻いた糸を伸ばしていく時、糸の先端が描く螺旋の弧の長さを算出したいのです。
よろしくお願いいたします。

補足日時：2004/04/23 08:47

この回答へのお礼

早速のお答えありがとうございました。
質問のしかたがよくなかったようで、すこしちがったかいとうをいただきました。ごめんなさい。
質問を少し丁寧にくりかえしますので、もう一度、ご回答をお願いいたします。

質問
一般に、「アルキメデスの螺旋」と呼ばれているものだと思うのですが、原点からスタートするのではなく、半径rの円周上からスタートします。円筒に巻いた糸を伸ばしていく時、糸の先端が描く螺旋の弧の長さを算出したいのです。

お礼日時：2004/04/23 08:46