角が同じならsinは同じになるのでしょうか

「外接円の半径が３である⊿ABCを考える。点Aから直接BCに引いた垂線と直線BCとの交点をDとする。AB＝5，AC＝4とする。このときsin∠ABC＝□/□、AD＝□/□である。」
という問題で、解答を見るとsin∠ABD＝sin∠ABC＝2/3と記載があるのですが、角度が共通している場合はsinθとcosθは同じになるのでしょうか。もし同じになるとは一般的に言えないのなら、同じになる場合はどういうときなのでしょうか。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2022/09/06 00:25

＞解答を見るとsin∠ABD＝sin∠ABC＝2/3と記載があるのですが、

D は BC 上にあるので
　∠ABD ＝ ∠ABC
です。

角度が同じだから
　sin∠ABD ＝ sin∠ABC
です。
図を描けば明らかなように、AD⊥BC つまり AD⊥BD なので
　sin∠ABD ＝ AD/AB
　sin∠ABC ＝ AD/AB
ですから。

＞角度が共通している場合はsinθとcosθは同じになるのでしょうか。

なりません。
そうなるのは
　θ = 45°
のときです。
それは「角度が同じだから」ではなく、
　sin∠ABD ＝ AD/AB
　cos∠ABD ＝ BD/AB
なので
　AB = AD
のときに
　sin∠ABD ＝ cos∠ABD
になるということです。
それは「直角二等辺三角形」のときなので、結果として
　∠ABD ＝ 45°
ということになります。

一般には、θ = 45° のときを除いて
　sinθ ≠ cosθ
です。