A 回答 (3件)
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No.3
- 回答日時:
S=πr²/8=πr²・θ/360-r sinθ・r cosθ/2
=πr²・θ/360-r² sinθ・ cosθ/2...(1)
sin(θ+θ)
=sinθ cosθ +sinθ cosθ
=2sinθ cosθ
sinθ cosθ/2=sin2θ/4...(2)
(1),(2)よりSは
S=πr²・θ/360-r² sinθ・ cosθ/2
=πr²・θ/360-r²sin2θ/4=πr²/8
π・θ/45-2sin2θ=π
2sin2θ=π・θ/45-π
=π(θ/45-1)
sin2θ=π(θ/90-1/2)
時間があるので、電卓たたいて近似しました。3個はご自分でどうぞ。
θ≒132.4
No.2
- 回答日時:
ANo.1です。
円の半分の面積となるときの、円の中心と円の中心の距離を回答するのを忘れていました。
円の半分の面積となる角度をθ(θはθ-sinθ=π/2となる角度)とすると、円の中心と円の中心の距離は、
2r cos(θ/2)
になります。
こちらも一応近似値をだすと、約0.807946rになります。
No.1
- 回答日時:
簡単化のため、2つの円の中心がx軸上にあるとします。
円の中心をO1(x1, 0), O2(x2, 0)、2つの円の交点をP1(xp, y1), P2(xp, y2)とし、xpはx1<xp<x2とします。
重なった部分の面積は扇形の面積からO1,P1,O2,P2を結ぶひし形の面積を引いたものになります。
重なった部分の面積が円の半分になるときの扇形の角度をθとすると、重なった部分の面積は、
(1/2)θr^2 + (1/2)θr^2 - sinθr^2
=θr^2 - sinθr^2
=r^2 (θ-sinθ)
となります。これが円の半分の面積になるので、円周率をπとすると、
(π/2) r^2=r^2 (θ-sinθ)
θ-sinθ=π/2
となり、厳密解を求めるのは自分には無理です。
一応、近似値だとθ≒2.309881となり、度数だと約132.3464°になります。
3つの同じ大きさの円の重なりはもっと複雑になりますので、自分はパスします。
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