場合の数、確率 18 京都大学多項定理

Question

本題

４項式の展開

( x+y+z)ⁿ=Σ(n!/a!b!c! .....

多項定理の公式でいじってはみたものの

計算が派手すぎる

０から勉強すべく、ただ今試行錯誤中

識者の方のアプローチも教えてください

以下問題

_______________________________________

https://imgur.com/a/oCB5EcC

___________________________

ありものがたり · Accepted Answer

あ、できた。

ありものがたり · Answer

あら、半日経ったら、無視されたと思った投稿が大量に受付られている。
リジェクトじゃなくて査読中だったのか？
それならそれで、投稿時にそれらしいメッセージが欲しかったよね。
これじゃまるで、私が大量に重複投稿したみたいじゃないの。
運営の悪意を感じる。

ありものがたり · Answer

質問氏の答案が時限で消えないように引用したいのだけれど、
リンクや添付写真を付けるとなぜか投稿がリジェクトされる...
方法を模索中。

ありものがたり · Answer

質問氏の答案が時限で消えないように引用したいのだけれど、
リンクや添付写真を付けるとなぜか投稿がリジェクトされる...
方法を模索中。

ありものがたり · Answer

←No.2 補足
気が合うね。私と全く同じ解法じゃないの。
その赤い□の 4 が、No.2 の y^4 の 4 だよ。
その後の計算も同じみたいだから、
「理解に苦しむ」ってのは解せないな。

ありものがたり · Answer

←No.2 補足
気が合うね。同じことやってるじゃない。
その赤い□の 4 が、No.2 の y^4 の 4 だよ。
その後の計算も同じみたいだから、
No.2 の式のどこが貴方の式のどこに対応するか
見れば「理解に苦しむ」ことはないんじゃない？
No.4 に計算ミスが無いことを祈るけど。

補足の imgur 再掲↓

mtrajcp · Answer

(x^3+(√2)x^2+(3^{1/3})x+1)^100
を展開したときの,x^296の係数は

Σ
{
3a+2b+c=296
a+b+c+d=100
0≦a
0≦b
0≦c
0≦d
}
{100/(a!b!c!d!)}(2^{b/2})(3^{c/3})

だから

2b+c=296-3a
0≦2b+c=296-3a
3a≦296
a≦98

2a+2b+2c+2d=200
2a+2b+2c+2d+296=3a+2b+c+200
96≦c+2d+96=a
∴
96≦a≦98

a=96のとき
2b+c=296-3*96=8
0≦c=8-2b
2b≦8
b≦4
0≦d=100-a-b-c=4-b-c
b+c≦4
b+8-2b≦4
4≦b
b=4
c=0
d=0
(a=96,b=4,c=0,d=0)

a=97のとき
2b+c=296-3*97=5
0≦c=5-2b
2b≦5
b≦5/2
b≦2
0≦d=100-a-b-c=3-b-c
b+c≦3
b+5-2b≦3
2≦b
b=2
c=1
d=0
(a=97,b=2,c=1,d=0)

a=98のとき
2b+c=296-3*98=2
0≦c=2-2b
2b≦2
b≦1
b=0のとき
c=2
d=0
(a=98,b=0,c=2,d=0)

b=1のとき
c=0
d=1
(a=98,b=1,c=0,d=1)

x^296の係数は

{100/(96!4!0!0!)}(2^{4/2})(3^{0/3})
+{100/(97!2!1!0!)}(2^{2/2})(3^{1/3})
+{100/(98!0!2!0!)}(2^{0/2})(3^{2/3})
+{100/(98!1!0!1!)}(2^{1/2})(3^{0/3})

=
50*33*98*97
+(50*33*98*6)(3^{1/3})
+(50*33*3)(3^{2/3})
+(50*33*6)√2

=
1650(9506+588(3^{1/3})+3(3^{2/3})+6√2)
=
15684900+970200(3^{1/3})+4950(3^{2/3})+9900√2

ありものがたり · Answer

続き。 案外楽な作業だった。

{ 1・ (√２) }・(100C1)(99C1)
+ { (3^(1/3))^2 }・(100C2)
+ { (3^(1/3))・(√２)^2 }・(100C1)(99C2)
+ { (√２)^4 }・(100C4)
=
9900√2
+ 4950・3^(2/3)
+ 970200・3^(1/3)
+15684900.