2重ΣΣのΣ記号は交換可能でしょうか？

線型代数の本に2重Σが出てきてΣ記号を交換していました。

2重のΣ記号はどんな場合もΣ記号を入れ替えることができるのでしょうか？
だとしたらΣ記号が常に交換可能であることはどのように示すのでしょうか？

またΣ記号が交換可能でない例などをご存知でしたら教えてください。

ちなみにΣΣ（ｘy)のような計算はΣ(Σxy)のように右側のΣから先に計算するというので良いのですよね？

よろしくお願いします。

No.6 ベストアンサー 回答者： koko_u_ 回答日時： 2007/10/30 22:02

>互いの文字が独立だからといっても必ずしもΣの交換が可能というわけではないのですね。

もちょっと考えるんだ n = m なら

Σ[i=1→n]Σ[j=i→n]f(i,j)
= f(1,1) + f(1,2) + f(1,3) + … + f(1,n)
　　　　　+ f(2,2) + f(2,3) + … + f(2,n)
　　　　　　　　　　+ f(3,3) + … + f(3,n)
　　　　　　　　　　　　　　　　…
　　　　　　　　　　　　　　　　　+ f(n,n)

= f(1,1) +
+ f(1,2) + f(2,2) +
+ f(1,3) + f(2,3) + f(3,3) +
+ …

= Σ[i=1→n]Σ[j=1→i]f(i,j)

と「交換」できます。n ≠ m の場合は宿題ね。

この回答への補足

お待たせしてすみません。

考えたんですが、
Σ[i=1→n]Σ[j=1→i]f(i,j)
＝Σ[i=1→n]｛f(i,1)+f(i,2)+f(i,3)+・・・+f(i,(i-1))+f(i,i)｝

となり、i≧2ではこの式は成り立たないような気がするのですが・・・。

何か考え違いなどありましたらまたご指摘ください。
よろしくお願いします。

補足日時：2007/11/02 13:25

この回答へのお礼

ご回答どうもありがとうございます。

なんかうっすら分かったような気がしていたのですが、
koko_u_さんの課題で全然分かってないないことが分かりました。

今日も考えてたのですが、まだ分かりません。
少し時間が掛かるかもしれませんので、お礼のみ先に投稿しました。

もう少し考えてみます。
自分なりに納得できましたら補足欄でご報告します。

ご回答どうもありがとうございました。

お礼日時：2007/11/02 02:27

No.5 回答者： hugen 回答日時： 2007/10/29 22:53

左辺

＝Σ[t=1→m](Σ[s=1→l]a<ps>b<st>c<tq>)
＝Σ[t=1→m](a<p1>b<1t>c<tq>＋・・＋a<pl>b<lt>c<tq>)
＝Σ[t=1→m]a<p1>b<1t>c<tq>＋・・＋Σ[t=1→m](a<pl>b<lt>c<tq>)
＝Σ[s=1→l](Σ[t=1→m]a<ps>b<st>c<tq>)＝右辺

(参考)
どちらも,以下の合計です。
ap1 b11 c1q , ap1 b12 c2q ,・・ , ap1 b1m cmq
ap2 b21 c1q , ap2 b22 c2q ,・・ , ap2 b2m cmq
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
apl bl1 c1q , apl bl2 c2q ,・・ , apl blm cmq

b の並びは　B　の成分の並びと同じ
a の並びは　ap1・・・apl を　縦に
c の並びは　縦が横になってます。

この回答へのお礼

ご丁寧に再度のご回答どうもありがとうございます。

回答をしばらく眺めていましたらだんだん縦横の長方形に並んだ要素のイメージが湧いてきました。
どうもありがとうございます。

お礼日時：2007/10/30 05:26

No.4 回答者： koko_u_ 回答日時： 2007/10/29 22:16

>かといって問題を解く上で時間を掛けて考え込む所でもないと思うのですが。

わからないのであれば、そこで深く考えて下さい。丸暗記しても何の役にも立ちません。

書き下すイメージは２重になっている和を長方形に

Σ_{i=1}^n Σ_{j=1}^m f(i,j)

= f(1,1) + f(1,2) + … + f(1,m)
+ f(2,1) + f(2,2) + … + f(2,m)
+ …
+ f(n,1) + f(n,2) + … + f(n,m)

と書いて(多分ズレているけどイマジネーションで補え)、縦横を逆にする

= f(1,1) + f(2,1) + … + f(n,1)
+ f(1,2) + f(2,2) + … + f(n,2)
+ …
+ f(1,m) + f(2,m) + … + f(n,m)

= Σ_{j=1}^m Σ_{i=1}^n f(i,j)

という具合。「独立している」というのは、「きれいに長方形になっている」という意味。

最初に書いた例(Σ_{i=1}^n Σ_{j=i}^m ...)だと三角形になっているので、単純に交換できません。しかし、どうすればイイかはわかるよね。

この回答への補足

すみませんが、一つの回答にお礼と補足は一回ずつみたいなので、
こちらに書きます。

= f(1,1) +
+ f(1,2) + f(2,2) +
+ f(1,3) + f(2,3) + f(3,3) +
+ …

= Σ[i=1→n]Σ[j=1→i]f(i,j)

ずっと考えてたんですが、
>Σ[i=1→n]Σ[j=1→i]f(i,j)
は
Σ[j=1→n]Σ[i=1→j]f(i,j)の記入ミスですよね。
まだΣΣの使い方を熟知してませんの私の勘違いでしたらすみません。

>n ≠ m の場合は宿題ね。

こちらの方も考えました。
間違ってるかもしれませんが、自分で頑張って答えを出してみました。

Σ[i=1→n]Σ[j=i→m]f(i,j)
=Σ[i=1→n]｛f(i,i)+f(i,i+1)+・・・+f(i,m)｝

n≧mの時
＝Σ[j=1→m]Σ[i=1→j]f(i,j)

n＜mの時
＝Σ[j=(n+1)→m]Σ[i=1→n]f(i,j)+Σ[j=1→n]Σ[i=1→j]f(i,j)

となりました。

大変でしたがとても勉強になりました。
（合ってれば良いですが・・・。）
どうもありがとうございました。

補足日時：2007/11/02 16:30

この回答へのお礼

再びのご回答どうもありがとうございます。

なるほど。独立しているとは「きれいな長方形になっている」ということなのですね。分かりやすいです。

>(Σ_{i=1}^n Σ_{j=i}^m ...)

これについても考えてみたのですが、
（Σ[i=1→n]Σ[j=i→m]f(i,j)という記号と同じでよいですよね？）

Σ[i=1→n]{Σ[j=i→m]f(i,j)}として計算すると三角形になるのですが、
シグマを入れ替えて、
Σ[j=i→m]{Σ[i=1→n]f(i,j)}として計算すると長方形になると思います。
この場合Σを入れ替えると従属から独立、独立から従属に変化してしますのですね。
となると互いの文字が独立だからといっても必ずしもΣの交換が可能というわけではないのですね。


　

お礼日時：2007/10/30 04:40

No.3 回答者： hugen 回答日時： 2007/10/29 20:13

高校の数列　シグマの公式

Σ[n=1,3](an＋bn)＝Σ[n=1,3]an＋Σ[n=1,3]bn
a＝a1 , b＝a2　　と表わすと
Σ[n=1,3](a1n＋a2n)＝Σ[n=1,3]a1n＋Σ[n=1,3]a2n
Σ[n=1,3](Σ[j=1,2]ajn)＝Σ[j=1,2](Σ[n=1,3]ajn)

この回答へのお礼

ご回答どうもありがとうございます。

>Σ[n=1,3](Σ[j=1,2]ajn)＝Σ[j=1,2](Σ[n=1,3]ajn)

この例だと分かるような気がします。
けれどＮo1のお礼で挙げたような例ですと、なんとなくしっくり来ない部分が残ったままなのです。
もう少し考えてみます。

お礼日時：2007/10/29 21:28

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2007/10/29 13:22

#1 でいっていることをその場合に適用すると:

後ろの s に関する範囲が t に依存してませんね. で, どちらの和も有限個ですから交換可能です.

この回答へのお礼

ご回答どうもありがとうございます。

>後ろの s に関する範囲が t に依存してませんね. で, どちらの和も有限個ですから交換可能です.

範囲が互いに依存してないから独立ですか。
まだ「独立→交換可能」が直観的に理解できないでいます。
もう少しじっくり考えて見ます。

お礼日時：2007/10/29 21:24

No.1 回答者： koko_u_ 回答日時： 2007/10/29 04:52

>2重のΣ記号はどんな場合もΣ記号を入れ替えることができるのでしょうか？

両方のΣの和を取る変数(i とか j)が独立であれば交換可能です。
逆に

Σ_{i=1}^n Σ_{j=i}^m ...

などの場合は、(j の和の範囲が i に依存しているので)単純に交換することはできません。工夫が必要です。

また、和の範囲が無限大まで及んでいる場合も単純には交換できません。

>だとしたらΣ記号が常に交換可能であることはどのように示すのでしょうか？
有限和で和を取る変数 i , j が独立であれば、和の交換法則から明らかです。
Σ記号ではなく、単純に i, j の和の範囲について、書き下せば理解できるはずです。

この回答へのお礼

ご回答どうもありがとうございます。

>(j の和の範囲が i に依存しているので)単純に交換することはできません。
なるほど。
単純に公式的に交換可能というわけではないのですね。

>両方のΣの和を取る変数(i とか j)が独立であれば交換可能です。

ちなみに
私が考えていたのは
（k,l）型の行列Ａ　(l,m)型の行列Ｂ　(m,n)型の行列Ｃ
の結合法則（ＡＢ）Ｃ＝Ａ（ＢＣ）の証明部分です。

行列Ａの（s,t）成分をa<st>)と表した時

Σ[t=1→m](Σ[s=1→l]a<ps>b<st>c<tq>)
＝Σ[s=1→l](Σ[t=1→m]a<ps>b<st>c<tq>)

という部分です。

書き下しても分かりづらくて・・・。
かといって問題を解く上で時間を掛けて考え込む所でもないと思うの
ですが。
単純に公式として交換可能と覚えれば済むというわけでもないみたいですし。
独立という概念もあまりよく分からないのですが、この例の場合はすぐに交換可能であることが分かるものなのでしょうか？

お礼日時：2007/10/29 11:55