数列の和について

高校生を家庭教師で教えています。
数学Bの数列でΣk=1/2n(n+1)、・・・・・・k２乗、k３乗と公式がありますが、Σ1/k＝？？？です。
その昔聞いていると思いますが、記憶があいまいで・・・・・、どなたか教えてください。
宜しくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： stuff_ppo 回答日時： 2010/11/26 11:18

{1/k}は調和数列と言いますが、

この部分和は一般的なnの形で表す事ができません。

だいたいの大きさであれば、y = log x との大小で評価する事ができます。
http://www.cfv21.com/math/stepfunc.htm


なお、調和数の無限級数は正の無限大に発散します。

　1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + …
> 1/1 + 1/2 +(1/4 + 1/4)+(1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8)+ …
= 1/1 + 1/2 +　　　　　　+ 1/2　　　　　　　　　　+
このように、2個、4個、8個…ずつグループ化することで、
1/2がいくつでも作れるからです。
直観に反する不思議な結果ですね。


また、1/(k^2) の無限級数は、なんと(π^2)/6に収束します。
数列の和からπが飛び出すなんて、
これもとても不思議で、数学の魅力がつまった式です。

バーゼル問題 - Wikipedia
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%90%E3%83%BC% …
リーマンゼータ関数 - Wikipedia
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BC%E3%83%BC% …

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2010/11/26 11:34

Σ(1/k),[k=1,n]についての和の公式は、一般的な式では表せないため、存在しません。

難しくなりますが、この和は「調和数(harmonic number)」としてHnで定義されています。
詳しくは参考URLをご覧下さい。

Hn≡Σ1/k, (k=1,…,n)
　≡γ+ψo(n+1)
ここで、
γは　Euler-Mascheroni 定数、ψ(x)=ψo(x)はダイガンマ関数です。

参考URL：http://mathworld.wolfram.com/HarmonicNumber.html

No.2 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2010/11/26 11:22

　自然数の逆数の和（Σ1/k）は、自然数の冪和（Σk^r,r:自然数）のように、ｎの有限多項式で表すことができません。

　定積分や特殊関数であるディ・ガンマ函数を使えば表すことができます。

　Σ[k=1→n] 1/k =∫[t=0→1] {1-(1-t)^n}/t dt =γ+ψ(n+1)

　　ただし、γ:オイラーのγ定数（≒0.5772）、ψ:ディ・ガンマ関数

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4% …
http://books.google.co.jp/books?id=T1EtFNRObVIC& …


　高校数学の範囲を超える内容かと思われます。
　もし高校生からの質問でしたら、そのように答えられると良いと思います。