数学ⅡＢの数列を教えてください！

数学ⅡＢの数列を教えてください。
Σ記号を習う前の学校の課題です。

「1-4+12-32+・・・+（-2）^n-1・n」　を計算せよ。

という問題です。

宜しくお願いします！

No.3 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2022/05/15 22:04

S=1 - 4 + 12 - 32 + ・・・+ (-2)^(n-1)・n とおくと、

S=(-2)^(1-1)・1+(-2)^(2-1)・2+(-2)^(3-1)・3+・・・+(-2)^(n-1)・n

S=(-2)^0・1+(-2)^1・2+(-2)^2・3+・・・+(-2)^(n-1)・n …①

両辺にー２を掛けます。
-2S=(-2)^1・1+(-2)^2・2+(-2)^3・3+・・・+(-2)^n・n …②

①－②
②の右辺は始めの部分を右にずらして、(-2)の指数部分が①と揃うようにかきます。
S=(-2)^0・1+(-2)^1・2+(-2)^2・3+・・・+(-2)^(n-1)・n
-2S= _______(-2)^1・1+(-2)^2・2+・・・+(-2)^(n-1)・(n-1)+(-2)^n・n
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
3S=(-2)^0・1+(-2)^1・1+(-2)^2・1 +・・・+(-2)^(n-1)・1 － (-2)^n・n

=(-2)^0+(-2)^1+(-2)^2+・・・+(-2)^(n-1) － (-2)^n・n

={1－(-2)^n}/{1－(-2)} － (-2)^n・n

={1－(-2)^n}/3 － (-2)^n・3n /3

={1－(-2)^n － (-2)^n・3n}/3

=[1－{3n+1)(-2)^n]/3

両辺を３で割って、
S=[1－{3n+1)(-2)^n]/9

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/05/12 20:24

Σ[k=1,n] x^k=(x-xⁿ⁺¹)/(1-x)

両辺をxで微分
　Σ[k=1,n] kx^(k-1)={(1-(n+1)xⁿ)(1-x) - (x-xⁿ⁺¹)(-1)}/(1-x)²
　　　={1-x-(n+1)xⁿ+(n+1)xⁿ⁺¹ +x-xⁿ⁺¹}/(1-x)²
　　　={1-(n+1)xⁿ+nxⁿ⁺¹}/(1-x)²

求めるものは、上式の左辺で、今回 x=-2 だから
　{1-(n+1)(-2)ⁿ+n(-2)ⁿ⁺¹}/(3)²
　={1-(n+1)(-2)ⁿ-2n(-2)ⁿ}/9
　={1-(3n+1)(-2)ⁿ}/9

No.1 回答者： wotsuma 回答日時： 2022/05/12 19:50

S=1-4+12-32+…+(-2)^(n-1)*n

S=(-2)^(0)*1+(-2)^(1)*2+(-2)^(2)*3+(-2)^(3)*4+…+(-2)^(n-1)*n
-2S= (-2)^(1)*1+(-2)^(2)*2+(-2)^(3)*3+(-2)^(4)*4+…+(-2)^(n)*n

S-(-2S)=(-2)^(0)+(-2)^(1)+(-2)^(2)+(-2)^(3)+…+(-2)^(n-1)-(-2)^(n)*n
3S=[初項1、公比-2の等比数列の初項から第n項までの和]-(-2)^n*n
3S=1*{1-(-2)^n}/{1-(-2)}-(-2)^n*n
3S={1-(-2)^n}/3-(-2)^n*n
3S=1/3-(n+1/3)*(-2)^n
S=1/9-(n/3+1/9)*(-2)^n