二項定理と乗法定理の問題について

二項定理と乗法定理の問題について質問です。
(1)二項定理の展開式を使って、以下の式の値を求めなさい。
nC1 + nC2 + nC3 + ... + nCn-1 + nCn
(2)6個のサイコロを同時に投げたとき、1の目が3個、4個、5個、6個となる確率をそれぞれ求めよ。
・1の目が3個となる確率
・1の目が4個となる確率
・1の目が5個となる確率
・1の目が6個となる確率

(3)95人の学生に論理回路と確率統計の試験を行った結果、論理回路と確率統計の成績が独立であった．さて、Y君が論理回路に合格する確率をP{A}=0.8、確率統計に合格する確率P{B}=0.8 とした場合に、 Y君が両方合格する確率を求めよ。

(4)95人の学生に論理回路と確率統計の試験を行った結果、論理回路と確率統計の成績の相関性が認められた．さて、Y君が論理回路に合格する確率をP{A}=0.8、確率統計に合格する確率P{B}=0.7とした場合に、Y君が両方合格する確率を理由と共に求めよ．ただし、P{B|A}=0.9 とする．
と言う問題について、
(1)
(x+1)^n = Σ[k=0→n] C(n,k) x^(n-k) 1^k
(x+1)^n - x^n = Σ[k=1→n] C(n,k) x^(n-k) 1^k
(1+1)^n -1^n = Σ[k=1→n] C(n,k)
2^n - 1 = Σ[k=1→n] C(n,k)

(2)
C(6,3) 5^3 / 6^6 = 625/11664
C(6,4) 5^2 / 6^6 = 125/15552
C(6,5) 5^1 / 6^6 = 5/7776
C(6,6) 5^0 / 6^6 = 1/46656

(3)
P{A∩B}=P{A}P{B}=0.64

(4)
P{A∩B}=P{B|A}P{A}=0.72
となったのですが合っているでしょうか？
間違えていたら解説お願いします。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/04/26 10:07

全部合っています

(2)
6^6=(5+1)^6
↓右辺を2項展開すると
6^6=(6C0)(5^6)+(6C1)(5^5)+(6C2)(5^4)+(6C3)(5^3)+(6C4)(5^2)+(6C5)(5^1)+(6C6)(5^0)
↓両辺を6^6で割ると

1=
(6C0)(5^6)/6^6…1の目が0個となる確率
+(6C1)(5^5)/6^6…1の目が1個となる確率
+(6C2)(5^4)/6^6…1の目が2個となる確率
+(6C3)(5^3)/6^6…1の目が3個となる確率
+(6C4)(5^2)/6^6…1の目が4個となる確率
+(6C5)(5^1)/6^6…1の目が5個となる確率
+(6C6)(5^0)/6^6…1の目が6個となる確率

∴
(6C3)5^3 / 6^6 = 625/11664…1の目が3個となる確率
(6C4)5^2 / 6^6 = 125/15552…1の目が4個となる確率
(6C5)5^1 / 6^6 = 5/7776…1の目が5個となる確率
(6C6)5^0 / 6^6 = 1/46656…1の目が6個となる確率

(4)
P{B|A}
はAが起きる条件での条件付Bの確率

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/04/25 23:56

(1) と (3) は OK.

(2) は間違ってる. そのままで「1 が2個」「1 が 1個」「1 が 0個」の確率を足したらどうなる?

(4) は... そもそも「P{B|A}」って何を表してるんだろう. あ, 数値は不自然だよ.