統計学の問題です。よろしくお願いします。 あるサイコロを3回投げると，1の目が2回出た。 1の目が出

統計学の問題です。よろしくお願いします。

あるサイコロを3回投げると，1の目が2回出た。
1の目が出る確率 p についての帰無仮説を次のようにおく。

H0 : p = 1/6


Q1
帰無仮説 H0 を仮定し，1の目が出る回数を X とすると，X は二項分布に従う。
X が2以上となる確率を小数第3位まで求めよ。

P(X ≥ 2) =



Q2
有意水準を α = 0.05 とする。 帰無仮説 H0 が棄却されるかどうかを右側検定によって検定せよ。

①H0 は棄却される
or
②H0 は棄却されない

No.8 回答者： qas2021 回答日時： 2023/01/25 20:02

No.7 さん

> ただ、binom.test()では、下限はExactに一致するんですが、上限が合いません。

alternative を "greater" にしているからですね。
片側なので、上限が1になってしまいます。

> binom.test(2, 3, p = 1/6, alternative = "two.sided", conf.level = 0.9)

Exact binomial test

data: 2 and 3
number of successes = 2, number of trials = 3, p-value = 0.07407
alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.1666667
90 percent confidence interval:
0.1353504 0.9830476
sample estimates:
probability of success
0.6666667

No.7 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/01/25 12:20

qas2021様

ご指摘ありがとうございました。
やり直しました。

ご質問者様、
どのケースでも帰無仮説は棄却されません。お詫びして訂正します。

qas2021様ご指摘のとおり、
母比率のF推定は、最後のbinom.confint()のExactに一致します。
また、正規分布近似は、asymptoticに一致します。

ただ、binom.test()では、下限はExactに一致するんですが、上限が合いません。
なんででしょう。調べてみますが、もしご存じでしたら、教えて下さい。

> # 二項検定の信頼区間
> # あるサイコロを3回投げると，1の目が2回出た。
> # 片側5%で検定
>
> # 母比率のF推定
>
> n <- 3
> p <- 2/3
> a <- 0.1
>
> n1 <- 2 * n * (1 - p) + 2
> n2 <- 2 * n * p
> m1 <- 2 * n * p + 2
> m2 <- 2 * n * (1 - p)
>
> # Lower
>
> p1 <- n2 / (n1 * qf(a/2, n1, n2, lower.tail = F) + n2)
>
> # Upper
>
> p2 <- m1 * qf(a/2, m1, m2, lower.tail = F) / (m1 * qf(a/2, m1, m2, lower.tail = F) + m2)
>
> p1; p2
[1] 0.1353504
[1] 0.9830476
>
>
> # 一方、正規分布近似では
>
> a <- 0.95
>
> z <- qnorm(a)
>
> p1 <- p - z * sqrt(p * (1 - p) / n)
> p2 <- p + z * sqrt(p * (1 - p) / n)
>
> p1; p2
[1] 0.2189942
[1] 1.114339
>
>
> # 二項検定
> # "two.sided", "less", "greater"
>
> binom.test(2, 3, p = 1/6,
+ alternative = c("greater"),
+ conf.level = 0.95)

Exact binomial test

data: 2 and 3
number of successes = 2, number of trials = 3, p-value =
0.07407
alternative hypothesis: true probability of success is greater than 0.1666667
95 percent confidence interval:
0.1353504 1.0000000
sample estimates:
probability of success
0.6666667
>
>
> # 11種類の信頼区間
>
> library(lattice)
> library(binom)
>
> conflevel <- 0.9
>
> n <- 3
> m <- 2
> p <- 1/6
>
> binom.confint(m, n, conf.level = conflevel, methods="all")
　　　　　method x n　　　mean 　　lower 　　upper
1　agresti-coull 2 3 0.6666667 0.2486544 0.9266137
2　　 asymptotic 2 3 0.6666667 0.2189942 1.1143391
3　　　　　bayes 2 3 0.6250000 0.3018794 0.9795672
4　　　　cloglog 2 3 0.6666667 0.1195213 0.9255265
5　　　　　exact 2 3 0.6666667 0.1353504 0.9830476
6　　　　　logit 2 3 0.6666667 0.2105890 0.9374779
7　　　　 probit 2 3 0.6666667 0.2117118 0.9517386
8　　　　profile 2 3 0.6666667 0.2217900 0.9575308
9　　　　　　lrt 2 3 0.6666667 0.2218543 0.9583192
10　　 prop.test 2 3 0.6666667 0.1253345 0.9823472
11　　　　wilson 2 3 0.6666667 0.2535339 0.9217343
警告メッセージ:
stats::prop.test(x[i], n[i]) で:
Chi-squared approximation may be incorrect
>

No.6 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/01/25 11:44

qas2021様

ご指摘ありがとうございます。おっしゃるとおり大間違いを犯していました。

0.90の半分が式の中で使われていますね。これはあり得ないです。
コピペ時のミスです。お恥ずかしい。

キチンとやり直して投稿しますので、少々お待ち下さいませ。

No.5 回答者： qas2021 回答日時： 2023/01/24 12:28

No.2さんのスクリプトは、a の値が間違っているようです。

F分布を使った方法は binom.test と同じ結果が得られるはずです。

No.4 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/01/23 07:44

ご質問者にとっては、余計な話かもしれませんが、

古典的な確率論（最尤推定）では、1試行当たりの確率ｐはx/nになります。
観測事象の確率Ｐは二項分布に従います。
（６個の目について確率を論ずるときはディリクレ分布）

今、3回の試行中で、1の目が2回と、例えば仮に2の目が1回観測されたとしましょう。
この観測事実から、3,4,5,6の目の出現確率を推定すると、いずれも0になります。サイコロの目は実在しているのにも拘わらず、未来永劫出現しないという結果をもたらします。これは古典論の限界です。

このようなことから、
サイコロについて言及するなら、ベイズ推定などで母確率を推定してから議論する。
今、起きていることについて言及するなら、「観測事実」を直接検定する。
という使い分けが必要だと思います。

その結果として、
そのサイコロについての母確率を推定してから言えることは、明らかにイカサマサイコロ。
一方、今起きていることは、正しいサイコロであれば異常とも言い切れない。
という矛盾した解答になると思います。

この原因は、観測数が少ないからだと思います。

No.3 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/01/21 04:19

同じ質問を投げておられますが、そちらに付いた回答はサンプルを直接検定しています。

一旦母比率を推定して検定するのか、サンプルを直接検定するのか、は場面によって異なりますので、注意して下さい。
・そのさいころはイカサマさいころではないか？
・今の観測状況はヘンなことが起きているのではないか？

検定手法の教科書的には、母比率のＦ推定で行います。

この問題の流れ（呼び水問題が置かれている）では、直接検定かもしれませんね。でも、帰無仮説は棄却されません。

母比率のＦ推定では、「イカサマさいころ」という結論になります。

悩ましいですね。

No.2 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/01/19 10:16

#1です。

Q2は試行数が少なすぎるため、二項分布の信頼区間の求め方で答が違ってきます。なぜ、こんな問題を出すのかなぁ。

答の違いをを示すために、

・母比率のF推定
・正規分布近似
・Exact binomial test

でやってみました。参考にして下さい。

計算が面倒なのでRでスクリプトを書いてやりました。
F推定と正規分布近似で、α＝0.9としているのは「片側検定（右側検定）」だからです。
binomial testでは、有意水準は変えず、"two.sided", "less", "greater"で変更しています。

F推定では、
[1] 0.0533187
[1] 0.3846907
正規分布近似では
[1] 0.1396286
[1] 0.1937047
Exact binomial testでは、
95 percent confidence interval:
0.1353504 1.0000000

Exact binomial testでは棄却されず、そんなことは普通に起こり得るだろう（それはイカサマサイコロだとは言いきれない）という結論になります。
（正常なサイコロだと保証されたわけではありません。くれぐれもご注意ください）


> # 二項検定の信頼区間
> # 母比率のF推定
>
> n <- 3
> p <- 1/6
> a <- 0.90
>
> n1 <- 2 * n * (1 - p) + 2
> n2 <- 2 * n * p
> m1 <- 2 * n * p + 2
> m2 <- 2 * n * (1 - p)
>
> # Lower
>
> p1 <- n2 / (n1 * qf(a / 2, n1, n2, lower.tail = F) + n2)
>
> # Upper
>
> p2 <- m1 * qf(a / 2, m1, m2, lower.tail = F) / (m1 * qf(a / 2, m1, m2, lower.tail = F) + m2)
>
> p1; p2
[1] 0.0533187
[1] 0.3846907
>
>
> # 一方、正規分布近似では
>
> z <- qnorm(1 - a / 2)
>
> p1 <- p - z * sqrt(p * (1 - p) / n)
> p2 <- p + z * sqrt(p * (1 - p) / n)
>
> p1; p2
[1] 0.1396286
[1] 0.1937047
>
>
> # 二項検定
> # "two.sided", "less", "greater"
>
> binom.test(2, 3, p = 1/6,
+ alternative = c("greater"),
+ conf.level = 0.95)

Exact binomial test

data: 2 and 3
number of successes = 2, number of trials = 3, p-value =
0.07407
alternative hypothesis: true probability of success is greater than 0.1666667
95 percent confidence interval:
0.1353504 1.0000000
sample estimates:
probability of success
0.6666667

No.1 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/01/19 07:55

試行数３では正規分布近似ができませんが、そのケースに対応する二項検定として、テキストには何が書いてありましたか？