無限級数の和

∞
Σ{(1/2)^n}cos(nπ/2)
n=1
これの無限級数の和を求める問題なんですが
　　　　n
　lim　　Σ{(1/2)^k}coskπ/2
n→∞ k=1
に書きかえた後、どうすればいいんでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： zk43 回答日時： 2007/05/28 02:01

書き換えても進みません。

cos(nπ/2)はnが奇数のときは０なので、nが偶数の項だけ考えます。
n=2mとして、（m=1,2,…）
Σ{(1/2)^n}cos(nπ/2)
＝Σ{(1/2)^2m}cos(2mπ/2)
＝Σ{(1/4)^m}cos(mπ)
＝Σ{(1/4)^m}(-1)^m
＝Σ{(-1/4)^m}
＝(-1/4)/(1+1/4)
＝-1/5

No.4 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2007/05/28 04:07

　＃１です。

　ごめんなさい。途中で計算ミスをしていました。
　＃３さんの解法の方がシンプルですね。

＞＝[m=1→∞]Σ{(1/4)^(2m-1)}・(-1+1/4)
　＝-3・[m=1→∞]Σ{(1/16)^m}
　＝-3×{1/16・1/(1-1/16)}
　＝-1/5

No.2 回答者： kkkk2222 回答日時： 2007/05/27 18:09

あまり、厳密には書けませんが、

　　　Ｎ＝１、２、３、４、５、６、７，８、・・・
　　　（Ｎπ）/2 は、
(1/2)π,(2/2)π,(3/2)π,(4/2)π,(5/2)π,(6/2)π,(7/2)π,(8/2)π,・・・
　　　cos(nπ/2)は、
０、－１、０、１、０、－１、０、１、・・・
　　－１と＋１だけで良い事になり、両者とも４項ごとにあらわれるので、

（－１）の無限等比級数の和を、Ｓ１
（＋１）の無限等比級数の和を、Ｓ２は各々

S1=（－１）［(1/4)+(1/4)(1/16)+(1/4)((1/16)^2)+ ・・・］
=(-1/4)［1+(1/16)+((1/16)^2)+ ・・・］

S2=［(1/16)+((1/16)^2)+((1/16)^3) ・・・］
　 =(1/16)［1+(1/16)+((1/16)^2)+ ・・・］

Ｓ１とＳ２は収束するのが、判っているので、まとめて計算するのが若干速いかと。

［1+(1/16)+((1/16)^2)+ ・・・］は無限等比級数の和の公式、
　　Ａ／（１－Ｒ）を使用して、
　　1/(1-(1/16))=16/15

S1+S2=((1/16)+(-1/4))(16/15)
　　　　=((1/16)+(-4/16))(16/15)
　　　　=(-3/16)(16/15)
　　　　=ー１／５

No.1 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2007/05/27 16:15

　limに置き換える前に、ｎで場合分けしてcos(nπ/2)を簡単にしたほうが良いと思います。

　cosは周期2πの周期関数であることに注目すると、次のように分けられます。
　(1) n=4m-3, 4m-1 (m=1,2,3,・・・)の場合、cos(nπ/2)=0
　(2) n=4m-2の場合、cos(nπ/2)=-1
　(3) n=4mの場合、cos(nπ/2)=1

　したがって、与式は次のように変形できます。

　＝[m=1→∞]Σ{(1/2)^(4m-3)}・0+[m=1→∞]Σ{(1/2)^(4m-1)}・0+[m=1→∞]Σ{(1/2)^(4m-2)}・(-1)+[m=1→∞]Σ{(1/2)^(4m)}・1
　＝-[m=1→∞]Σ{(1/4)^(2m-1)}+[m=1→∞]Σ{(1/4)^(2m)}
　＝[m=1→∞]Σ{(1/4)^(2m-1)}・(-1+1/4)
　＝-3/4×{1/4・1/(1-1/4)}
　＝-1/4