数学で答えを教えて欲しいのです！ Σ(k＋1)・2のk乗の答えを知りたいです。 どうしてもn・2のn

数学で答えを教えて欲しいのです！
Σ(k＋1)・2のk乗の答えを知りたいです。
どうしてもn・2のn乗になります。ちなみにΣは1からnまでです。

No.2 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/09/04 20:49

Σ_{k=1～n}(k+1)2^k

=Σ_{k=1～n}(k+1)2^k(2-1)
=Σ_{k=1～n}(k+1)2^(k+1)-Σ_{k=1～n}(k+1)2^k
=(n+1)2^(n+1)+Σ_{k=2～n}k2^k-Σ_{k=2～n}(k+1)2^k-4
=(n+1)2^(n+1)-Σ_{k=2～n}2^k-4
=(n+1)2^(n+1)-4(2^(n-1)-1)-4
=n2^(n+1)

No.3 回答者： tekcycle 回答日時： 2021/09/05 08:03

ｎにいくつか数を入れて、あなたの計算結果と、元の数列を手動足し算したのと、で検算してみる。

検算して答が合わないときは、2だの3だの4だのの小さな数字で、どうなっているか、どこが間違っているか、を確かめる。
これやっておかないと、テストで、答はこれです、と自信満々で解答したのが、大減点喰らったり0点になったりしかねない。
答が合う合わない以上に、確かめ方、間違いを発見する方法、の方が大事かもしれない。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/09/04 19:10

Σ[k=1,n] x^k=x(1-xⁿ)/(1-x)

両辺にxをかけて
Σ[k=1,n] x^(k+1)=x²(1-xⁿ)/(1-x)

xで微分して
Σ[k=1,n] (k+1)x^k={2x(1-xⁿ)+x²(-nxⁿ⁻¹)}/(1-x)-x²(1-xⁿ)/(1-x)²(-1)
　　　　　={2x(1-xⁿ)-x²(nxⁿ⁻¹)}/(1-x)＋x²(1-xⁿ)/(1-x)²

x=2 として
Σ[k=1,n] (k+1)2^k={4(1-2ⁿ)-4(n2ⁿ⁻¹)}/(-1)+4(1-2ⁿ)/(1)
　　　=-4(1-2ⁿ)+4・n2ⁿ⁻¹+4(1-2ⁿ)
　　　=4n2ⁿ⁻¹
　　　=n2ⁿ⁺¹