分散を計算する際の、E(X^2)の計算方法

こんにちは。

分散の公式は
V(X) = E(X^2) - {E(X)}^2
ですが、この計算において E(X^2) はどう計算したらよいのでしょう？
X^2とはどういう意味なのでしょう？
確率変数を二乗する場合の計算方法がわからないです。

例として、P(X=1)=1/2, P(X=2)=1/2の場合で説明いただけると助かります。

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2009/07/14 18:05

X^2は単に確率変数Xの2乗のことです。

E(X^2)はX^2の値の期待値です。

E(X)=Σ[全てのj]Xj*P(Xj)
というのは知っていると思います。
E(X^2)=Σ[全てのj](Xj)^2*P(Xj)
のことです。
X^2=(Xj)^2となる確率はP(Xj) (X=-Xjの場合は別途足し合わせる)

>例として、P(X=1)=1/2, P(X=2)=1/2の場合で説明いただけると助かります。
E(X)=X1*P(X1)+X2*P(X2)=1*(1/2)+2*(1/2)=3/2
E(X^2)=(X1)^2*P(X1)+(X2)^2*P(X2)=1^2*(1/2)+2^2*(1/2)=5/2
となります。

この回答への補足

E(X) = Σx*P(X=x)
のとき、
E(X^2) = Σ(x^2)*P(X=x^2)
ではなく
E(X^2) = Σ(x^2)*P(X=x)
になるという理解でよろしいでしょうか？

補足日時：2009/07/14 18:32

No.2 回答者： proto 回答日時： 2009/07/14 23:50

正確に書くなら、

　　E(X^2) = Σ(x^2)*P(X^2=x^2)
かな。

または新たな確率変数Y=X^2を用意して
　　E(X^2) = E(Y) = Σy*P(Y=y)
とも書ける。
Y=X^2より
　　Σy*P(Y=y) = Σ(x^2)*P(X^2=x^2)

この回答への補足

ということは、たとえば
P(X=1) = 1/3, P(X=-1) = 1/3, P(X=2) = 1/3
のとき、
E(X^2) = Σx^2*P(X^2=x^2)
= 1^2*P(X=±1) + (-1)^2*P(X=±1) + 2^2*P(X=2)
= 1*2/3 + 1*2/3 + 4*1/3 = 8/3
となるのでしょうか？
（ここでは、P(X=±1) = P({X=1}∪{X=-1})としました）

補足日時：2009/07/15 00:16

No.3 回答者： rnakamra 回答日時： 2009/07/15 08:32

#1のものです。

>E(X^2) = Σ(x^2)*P(X=x)
違います。
#2でも述べられていますがx=xj^2となるのはx=xjの場合とx=-xjの二通りあります。
しかし、P(X^2=Xj^2)=P(X=Xj)+P(X=-Xj)である(X=XjとX=-Xjは排他であるため)から
(Xj)^2*P(X^2=Xj^2)=(Xj)^2*P(X=Xj)+(Xj)^2*P(X=-Xj)
=(Xj)^2*P(X=Xj)+(-Xj)^2*P(X=-Xj)
と変形できますので、
E(X^2)=Σ[全てのj](Xj)^2*P(Xj)
の表記で計算しても同じ結果になります。

この形で計算できると言わないと、一般的なσの表記が難しくなります。

この回答への補足

P(X=1) = 1/3, P(X=-1) = 1/3, P(X=2) = 1/3
のとき、
E(X^2) = Σx^2*P(X^2=x^2)
= 1^2*P(X=±1) + (-1)^2*P(X=±1) + 2^2*P(X=±2)
= 1*2/3 + 1*2/3 + 4*1/3 = 8/3

前の捕捉で書きました、これはあっていますか？
貴殿の説明ですと、

E(X^2) = Σx^2*P(X=x)
= 1^2*P(X=1) + (-1)^2*P(X=-1) + 2^2*P(X=2)
= 1*1/3 + 1*1/3 + 4*1/3 = 2

となり、答えが変わるような気もするのですが。。

補足日時：2009/07/15 14:23

No.4 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2009/07/16 09:59

#3の補足に対して

>E(X^2) = Σx^2*P(X^2=x^2)
>= 1^2*P(X=±1) + (-1)^2*P(X=±1) + 2^2*P(X=±2)
>= 1*2/3 + 1*2/3 + 4*1/3 = 8/3

これは間違いです。

>E(X^2) = Σx^2*P(X=x)
>= 1^2*P(X=1) + (-1)^2*P(X=-1) + 2^2*P(X=2)
>= 1*1/3 + 1*1/3 + 4*1/3 = 2

こちらが正しい。