写真の(3)の問題の解説の1行目についてですが、 ①なぜ、曲線Kの囲む図形は、cos(-θ)と表せる

写真の(3)の問題の解説の1行目についてですが、
①なぜ、曲線Kの囲む図形は、cos(-θ)と表せるのですか？

②「cos(-θ)=cosθより、x軸対称」と書かれていますが、例えば、θ=πのとき、cos(-π)=-1,cos(π)=1であることから、y軸対称になるはずではないでしょうか？

③Sを求めるときの、積分範囲が０〜4となる理由がわからないです。

④置換積分法を用いた後、どのように式変形をすれば
S=2∮4(sin2θ-sinθ)…dθ となるのですか？

この4つについて、解説おねがい致します。

補足:問題と解説のURLです。
https://dotup.org/uploda/dotup.org2932066.pdf_ym …

質問者からの補足コメント

• ②についてですが、cosπ=-1です。
  よって、cos(-θ)=cosθが成り立つことから、y軸対称になるのではないでしょうか？

    補足日時：2023/01/26 07:41

• 解説ありがとうございました。
  この質問でのわからなかった箇所は理解できました。
  しかし、また新たにわからないことが出てきてしまったので、再度投稿させていただきます。よければ、そちらの方の解説もよろしくおねがいします。

    補足日時：2023/01/26 23:43

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/26 17:14

①

曲線Cが囲む図形は
{cos(-θ)=cosθより,}
x軸対称である

「図形は」は　cos(-θ) にかかるのではありません
「図形は」は　「x軸対称である」にかかるのです

②
図の通り
P(rcosθ,rsinθ)とP'(rcosθ,-rsinθ)はx軸対称です

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/01/26 09:35

あ、例によって図をつけ忘れた。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/01/26 09:34

No.2 は ② ね。

①
曲線K の囲む図形が cos(-θ) と表せるとは、どこにも書かれていない。
解答の「曲線C が囲む図形は cos(-θ) = cosθ より、 x軸対称である。」という文は、
曲線C が囲む図形は x軸対称である。その理由は cos(-θ) = cosθ だからだ。
...と言っている。

③
r = 8 cosθ - 4 を xy平面に図示すると、下図のようになる。
(2) の範囲 -π/3 ≦ θ < π/3 は、図の小さい方の閉じた曲線に相当する。
∫[0,4] ydx が、小さいほうの閉曲線の x軸より上の部分と
x軸とで囲まれた領域の面積を表すことは、見て判るとおり。
C は x軸対称だから、求めるべき面積 S は = 2∫[0,4] ydx となる。

④
S = 2∫4(sin2θ - sinθ)dθ とは、どこにも書かれていない。
No.2 に書いた式から r(θ) を消去すると
x = 4 + 4cos(2θ) - 4cosθ,
dx/ｄθ = -4(2sin(2θ) - sinθ),
y = 4(sin(2θ) - sinθ)　になることが解答に説明されている。
これを、置換積分 S = 2∫[0,4] ydx = 2∫[-π/3,0] y(dx/dθ)dθ へ代入すれば
解答後半の計算になり、S = 2∫4(sin2θ - sinθ)dθ ではない。

全般に、もっとちゃん問題や解答の文章を読もうよ。
君は、数学以前に国語が成立してないように感じる。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/01/26 09:08

問題文に「座標平面」とあって「xy平面」と書いてないのが悪いのかな？

でも、問題の内容をちゃんと読めば、ｘｙ平面の話であることは判るはず。
x,y と r,θ の間には、(1)に書かれてあるように
x = r cosθ,
y = r sinθ　の関係があって、
xy平面上の点をこのような r,θ で表示することを「極座標」と言うのだった。

r = 8 cosθ - 4 という式は、xy平面上の曲線 C を
r を θ の関数として書くことで表している。
変数 θ を明示して、
r(θ) = 8 cosθ - 4,
x(θ) = r(θ) cosθ,
y(θ) = r(θ) sinθ　と書くことにしようか。

「cos(-θ) = cosθ より」 r(-θ) = 8 cos(-θ) - 4 = 8 cosθ - 4 = r(θ) だから、
x(-θ) = r(-θ) cos(-θ) = r(θ) cos(θ) = x(θ),
y(-θ) = r(-θ) sin(-θ) = r(θ) (- sinθ) = - y(θ) となって
曲線 C 上には点(x(θ),y(θ)) と点(x(-θ),y(-θ)) である (x(θ),-y(θ)) とが
対になって現れる。このことを「x軸対称である」と言っている。

もしかしてだけれど、
君の「cos(-θ)=cosθが成り立つことから、y軸対称」は
r = 8 cosθ - 4 を y = 8 cos x - 4 にすり替えてしまってないか？

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/01/26 03:51

①

「曲線K」なんて無いようなので、Cとすると、Cは
　r=8cosθ-4・・・(1)
であり、「・・・の囲む図形は、cos(-θ)と表せる」なんて
言ってない。Cを囲む図形( (1)によって囲まれる図形 )は
　cosθ=cos(-θ)
という性質により、x軸対象と言っている。

②
ゼンゼン違います。y軸対象は
　r=f(θ)=f(π-θ)
です。それに
　cos(π)=-1
でっす。

③
0≦θ≦π/3 の範囲で、r≦4で、θ=0で、r=4だから、これはx軸
の点である。したがって、図形を
　y=f(x)
と表すと x=0～4の範囲となる。

④
　S=∫ydx=∫y(dx/dθ)dθ
だから、書いてあるとをり
　yと(dx/dθ)をθの関数に変換して書いただけ。