電磁気学 電束密度や面密度について

この問題は教えてほしいです
半径aの金属導体球の表面が厚さt、比誘電率εrの誘電体膜で被覆されている。導体球に電荷Q与える。
誘電体膜の誘電率はε＝εrε0
(１)中心Oからの距離をrにする。電束密度D、電界E、分極Pをrの関数で表せ
(２)誘電体膜の内側(導体球側)と外側(真空側)の表面に有機される分極電荷の面密度を求めよ
(３)誘電体膜で覆われた導体球の静電容量はいくらか

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/12/12 18:03

ε=εrε₀ (a<r<a+t)

ε=ε₀　(a+t<r)
とする。なお、関係ないと思うが、D=E=0 (r<a)

(1)
ガウスの法則から、
D=Q/(4πr²) , E=Q/((4πε)r²)

・a<r<a+t のとき
D=Q/(4πr²) , E=Q/((4πε)r²)={Q/((4πε₀)r²)/εr
P=D-ε₀E=(Q/4πε₀r²)(1-1/εr)

・a+t<r のとき
D=Q/(4πr²) , E=Q/((4πε₀)r²)
P=D-ε₀E=0

(2)
r=aのとき、nとPの方向は反対なので
σ=P・n=-P= -(Q/4πε₀a²)(1-1/εr)

r=a+tのとき、nとPの方向は同じなので
σ=P・n=P= {Q/4πε₀(a+t)²}(1-1/εr)

(3)
V=-∫[∞→a] E・dr=(Q/(4πε))[1/r][a,∞]
=(Q/(4π)) {[1/rε][a,a+t] + [1/rε₀][a+t,∞]
=(Q/(4π)) [ (1/ε){1/a-1/(a+t)} + (1/ε₀){1/(a+t)-0} ]
=(Q/(4πε₀)) [ (1/εr){1/a-1/(a+t)} + 1/(a+t) ]

C=4πε₀/[ (1/εr){1/a-1/(a+t)} + 1/(a+t) ]

この回答へのお礼

感謝です

お礼日時：2020/12/13 00:24