曲線y＝logx,√3≦x≦√8,の長さを求める問題で、√(1+x^2)をtとおくと良いと言われまし

曲線y＝logx,√3≦x≦√8,の長さを求める問題で、√(1+x^2)をtとおくと良いと言われました。

曲線 y = log x, √3 ≦ x ≦ √8の長さ L は、
L = ∫[√3,√8] √(1+( dy/dx )^2) dx
　= ∫[√3,√8] √(1+( (d/dx)log x )^2) dx
　= ∫[√3,√8] √(1+( 1/x )^2) dx
　= ∫[√3,√8] { √(x^2 + 1) }/dx
で、答えが5/2になったのですが、間違えだと言われました。途中式含め、解説、解答をお願いしたいです。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/01/09 12:16

√(1+( 1/x )^2)

＝√{(x²/x²)+(1/x²)}
=√{(x²+1)/x²}
ですから
= ∫[√3,√8] √(1+( 1/x )^2) dx
　= ∫[√3,√8]√{(x²+1)/x²} dx
としないといけないようですが・・・
ここを指摘しておけばあとはできますか？

（私的には　続きではセオリーにしたがって　√〇タイプはそのまま置き換え　
ということで　
√(x²+1)=tと置換する手が見えます）

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/01/09 00:25

少なくとも

∫[√3,√8] { √(x^2 + 1) }/dx
はおかしいよね.

ところで, あなたはどう計算したの?

この回答へのお礼

L = ∫[α,β] sinθ/(cosθ)^3 dθ　； ただし tanα = √3, tanβ = √8
と変形されるので、
L = ∫[cosα,cosβ] -1/u^3 du　　； u = cosθ で置換
　= [ 1/(2u^2) ]_(u=cosα,cosβ)
　= (1/2){ 1/(cosβ)^2 - 1/(cosα)^2 }
　= (1/2){ (1 + (tanβ)^2) - (1 + (tanα)^2) }
　= (1/2){ (1 + 8) - (1 + 3) }
　= 5/2.
こんな感じです

お礼日時：2021/01/09 11:55