確率の問題です。ご教授いただきたいです。

1辺の長さがaの正方形内に一様にランダムに点を取ったとき、その点と正方形の中心までの距離を確率変数Xとする。Xの分布関数、密度関数を求めよ。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2021/01/28 23:19

Xの確率密度関数をξ(x)とすると、Kを規格化定数として、まず内接円内では

　　0≦x≦a/2 ⇒ ξ(x) = K (2πx)
端っこのところはどうなるかというと、
　　a/2≦x≦(a√2)/2 ⇒ K (2πx - 8x Arccos(a/(2x)))
それ以外の範囲ではξ(x) =0。さて、Kはいくらかというと　
　　K = 1/ ( (πa^2)/4 - 8∫{x=a/2〜(a√2)/2} x Arccos(a/(2x)) dx)
というわけで、頑張れば何とか計算できるかな。ま、頑張ってくれたまえ。

　直交座標で行くとどうだろ。U,Vが[-a/2, a/2]の一様分布に従うとき、
　　X=√(U^2 + V^2)
が従う確率密度関数ξ。まず
　　Y = U^2
の確率密度関数υは
　　υ(x) = if 0≦x≦(a^2)/4 then 1/(a√x) else 0
だから、υ(x)に従う独立な確率変数Y1, Y2の和を
　　Z = Y1 + Y2
とすると、Zの確率密度関数ζは
　　ζ(x) = (υ＊υ)(x) = ∫{t=-∞〜∞}υ(x-t)υ(t) dt
そこで
　　J(v,w) = ∫{t=v～w} 1/√(t(x-t)) dt
とすると
　　ζ(x) = if 0≦x≦(a^2)/4 then (1/(a^2))J(0,x)
　　　　　else if (a^2)/4≦x≦(a^2)/2 then J(x,(a^2)/4)
　　　　　else 0
で、
　　J(v,w) = 2(arcsin(√(1-v/x)) - arcsin(√(1-w/x)))
より
　　ζ(x) = if 0≦x≦(a^2)/4 then π/(a^2)
　　　　　　else if (a^2)/4≦x≦(a^2)/2 then -(2/(a^2))arcsin(√(1-(a^2)/(4x)))
　　　　　　else 0
かな。すると
　　X = √Z
の確率密度関数ξは
　　ξ(x) = 2xζ(x^2)
　　　　= if 0≦x≦a/2 then 2πx/(a^2)
　　　　　else if a/2≦x≦a/√2 then -(4x/(a^2))arcsin(√(1-(a^2)/(4x^2)))
　　　　　else 0
こっちの方が大変だったみたい。計算間違えてそうな気がするし。

No.2 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/01/28 09:51

Tacosan先生、

内接円をはみ出す部分の関数はどうなるのでしょうか。
半径増分Δｒに関して、四角形に入る周長が減少していくことは分かるのですが・・・。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/01/27 23:38

「中心」が対角線の交点を意味するなら X<a/2 とその他でわけて計算すればいい.