No.3ベストアンサー
- 回答日時:
定理の名前は忘れましたが、以下の定理を使います。
「Xが連続型確率変数で、密度関数f(x)に従うとき、
Y=g(x)(ここでg(x)は微分可能な単調関数)とすると、
Yの密度関数h(y)は、
h(y)= f(g_inv(y))[g_inv(y)]’ :g(x)が単調増加のとき
h(y)=-f(g_inv(y))[g_inv(y)]’ :g(x)が単調減少のとき
g_invはgの逆関数」
これより、
まず、逆関数を求める。
y=x^(2/3)は単調増加で、その逆関数は、x=Y^(3/2)
これを微分すると、x'=3/2・Y^(1/2)
定理の式に代入する。ただし、f(x)=const.=1だから、
f(Y(x))=1・3/2・Y^(1/2)=3/2・Y^(1/2)
導出終わり
たぶん、ありものがたりさんの導出と同じだと思いますが、私のは定理に従って機械的にやっています。
No.4
- 回答日時:
#3です。
一様分布の密度関数ですが、密度関数のグラフは長方形になります。
密度関数のグラフの面積は、分布形に関わらず常に1です。
今の場合、底辺の長さが1ですので、高さも1。
よって、f(x)=1です。
この部分を断りなく書いていて、すみませんでした。
No.2
- 回答日時:
Y が X に対して単調増加なので、Y の分布関数 F_Y は
F_Y(y) = Prob[Y≦y] = Prob[X^(2/3)≦y] = Prob[X≦y^(3/2)] = y^(3/2)
と計算できます。よって、Y の確率密度関数 f_Y は
f_Y(y) = (d/dy)F_Y(y) = (d/dy)y^(3/2) = (3/2)y^(1/2) です。ただし、y∈[0,1].
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回答者様の返信を受けて質問文に不備が発覚したため、質問文を以下のように訂正いたします。ご指摘ありがとうございます。
Xが[0,1]を台に持つ連続一様分布に従う確率変数とするとき、Y=X^(2/3)が従う確率分布の確率密度関数fY(x)はどうなりますか?
が訂正後の質問文になります。
回答、ご指摘ありがとうございます。前者のY=X^(2/3)がご教授いただきたい内容でした。
質問文のほうも訂正いたしましたので、ご確認お願いします。