自己同型写像の制限

G を群，H を G の部分群，f を G の自己同型写像とします．このとき，f(H)=H でしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/12/26 14:57

G={e,x,y,z}

ee=e
ex=xe=x
ey=ye=y
ez=ze=z
xx=e
xy=yx=z
xz=zx=y
yy=e
yz=zy=x
zz=e
と定義すると
Gは単位元eの群となる

H={e,x}
とすると
HはGの部分群となる

f(e)=e
f(x)=y
f(y)=x
f(z)=z
とすると
f(xz)=f(y)=x
f(x)f(z)=yz=x
f(yz)=f(x)=y
f(y)f(x)=xz=y
だから
fはGの自己同型写像だけれども

f(H)=f({e,x})={e,y}≠{e,x}=H
だから
f(H)≠H