畳み込み積分の計算（一様分布の和）

２つの確率変数XとYが互いに独立に一様分布に従う時、確率変数X＋Yがどのような分布形状になるかという畳み込み積分の計算について、その計算過程が分からず質問させていただきました。

具体的には下記URLにあるベストアンサーの方のご回答を見ながら計算を理解しようとしているところです（積分をそれほど理解できていないので、これを例に積分の計算を学ぼうとしている感じです）
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/8719700.html

【以下引用】
確率変数X,Yの確率密度関数をf(x),g(y)として。確率変数Z=X+Yの確率密度関数をh(z)とすると。
h(z)=∫[-∞,∞]f(z-y)g(y)dy または h(z)=∫[-∞,∞]f(x)g(z-x)dx を計算すればよい。
問題よりf(x)=1 (0≦x≦1),g(y)=1 (0≦y≦1)　なので　0≦z≦1のときyは0≦y≦z,1＜z≦2のときz-1≦y≦1の範囲をとる。
0≦z≦1 のとき h(z)=∫[0,z]f(z-y)g(y)dy=∫[0,z]1・1dy=z
1＜z≦2 のとき h(z)=∫[z-1,1]f(z-y)g(y)dy=∫[z-1,1]1・1dy=1-(z-1)=2-z
【引用終わり】

■質問
0≦z≦1 のとき h(z)=∫[0,z]f(z-y)g(y)dy
これををどう計算したらこうなるのか→＝∫[0,z]1・1dy
さらにどうしてこうなるのか→＝z

同様のことですが、
1＜z≦2 のとき h(z)=∫[z-1,1]f(z-y)g(y)dy
これをどう計算したらこうなって→=∫[z-1,1]1・1dy
さらにどうしてこうなるのか=1-(z-1)=2-z

非常に数学が苦手で今まで来て、結構歳をとった今、あちこち虫食いのように学びなおししている者です。恐縮ですがわかりやすいご解説をいただける方、ご指導宜しくお願いいたします。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/03/20 14:38

元々の問題は、X,Y が独立な一様分布としか言ってないが、

その回答は、X,Y が独立に [0,1] の一様分布に従うと仮定している。
そうすると、0≦z≦1 のとき
h(z) = ∫[-∞,+∞]f(z-y)g(y)dy
　　　= ∫[-∞,0]f(z-y)g(y)dy + ∫[0,z]f(z-y)g(y)dy + ∫[z,+∞]f(z-y)g(y)dy　　←[＊1]
　　　= ∫[-∞,0]f(z-y)・0dy + ∫[0,z]1・1dy + ∫[z,+∞]0・g(y)dy　　←[＊2]
　　　= ∫[0,z]1dy
　　　= z - 0
となる。
鍵は[＊2]の変形だが、
y<0 のとき g(y)=0 となることから ∫[-∞,0]f(z-y)g(y)dy = ∫[-∞,0]f(z-y)・0dy,
x<0 のとき f(x)=0 となることから ∫[z,+∞]f(z-y)g(y)dy = ∫[z,+∞]0・g(y)dy,
そのどちらでもないとき 0≦x=z-y≦1, 0≦y≦z≦1 より f(x)=g(y)=1 となることから
∫[0,z]f(z-y)g(y)dy = ∫[0,z]1・1dy であって、このように変形できる。
それを予め見越して、[＊1]のように ∫ を分解してあったわけだ。

この回答へのお礼

ご回答をいただきまして真にありがとうございます。
分かりやすいご回答のお陰様でかなり理解できました。

一部自信がないので確認のための質問をさせてください。
ご回答の下記部分に関してです。
”そのどちらでもないとき 0≦x=z-y≦1, 0≦y≦z≦1 より f(x)=g(y)=1 ”

質問１：どちらでもないときの、f(x)の範囲と、g(y)の範囲は、どちらも範囲は0から1までなので、 f(x)=g(y)だということですか？

質問２： f(x)=g(y)=1のところですが、 f(x)=g(y)ならそれは１であるというところがよくわかりません（根本的な理解不足からくる質問のような気がしています・・・）

恐縮ながら宜しくお願いいたします。

お礼日時：2022/03/22 08:55

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/03/23 14:13

質問１：

その「どちらでもないとき」は、 0≦z≦1 であることが効いて
x の範囲と y の範囲がどちらも 0 から 1 までなので、
f(x)=1, g(y)=1 だということです。

質問２：
f(x)=g(y) ならそれは １ であるという話ではありません。
上記のように、その x,y の範囲では f(x)=1, g(y)=1 だということです。

この回答へのお礼

追加のご回答をいただきまして、ありがとうございました。
お陰さまで理解できました。

それにしてもz-yはつまりxのことですが、言われてみればそうなのですが、問題を与えられて式を作れる人はすごいですね。
感服です。
もっとすごいのは微積分などに思い至った過去の偉人ですが・・・

これからも少しずつ理解を増やしていきたいと思います。
ありがとうございました。

お礼日時：2022/03/24 07:32

No.1 回答者： TakahashiR 回答日時： 2022/03/20 12:31

うわー分からん(´・ω・｀)