相対論的運動方程式

以下の問題を教えてください。

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相対論的な運動方程式

F ⃗=(dp ⃗)/dt

が、加速度

(dv ⃗)/dt

の向きによって、

v ⃗⊥(dv ⃗)/dt → F ⃗=m/γ^(3/2) ⋅(dv ⃗)/dt

v ⃗∥(dv ⃗)/dt → F ⃗=m/γ^(1/2) ⋅(dv ⃗)/dt

となることを示せ。ただし、

γ=1-(v^2/c^2 )

である。

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よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/07/04 09:38

違います。

誤解しやすいので質点の速度を<u> 、大きさは u、γ=1/√(1-u²/c²)
など、一般的な表記を使う。

　m(γ<u>)'=<F>
　　→ mγ<u>'+mγ³<u>(u/c²)u'=<F>・・・・①

したがって、
　<u>⊥<u>' → <u>・<u>'=0 → (<u>・<u>)'=0
　 → (u²)'=0 → u=const.
すると、u'=0 だから、①の左辺2項は0となり
　mγ<u>'=<F>
を得る。

つぎに　<u>∥<u>'　のとき、<e>を単位ベクトルとして
　<u>=u<e> , <u>'=u'<e>
と表せるから①は
　mγu'<e>+mγ³u(u/c²)u'<e>=<F>
　 → mγu'<e>(1+γ²(u²/c²))=<F>
ここで
　(1+γ²(u²/c²))=γ²(1/γ²+u²/c²)=γ²(1-u²/c²+u²/c²)=γ²
なので

　 → mγ³u'<e>=<F> → mγ³<u>'=<F>

この回答へのお礼

γ間違えてましたね、すみませんでした。

わかりやすい説明ありがとうございます。

お礼日時：2022/07/04 13:44