f(x,y)=(2x^3-y^3)/(4x^2+y^2)、(x,y)≠(0,0) =0、(x,y)≠

f(x,y)=(2x^3-y^3)/(4x^2+y^2)、(x,y)≠(0,0)
=0、(x,y)≠(0,0)
この関数は点(0,0)において全微分可能であるか調べよという問題がわからないので教えて欲しいです。

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/10/14 19:00

fx(0,0)=lim[x→0] (f(x,0)-f(0,0))/x=lim[x→0] (x/2)/x=1/2

　fy(0,0)=lim[y→0] (f(0,y)-f(0,0))/y=lim[y→0] (-y)/y=-1

したがって、(全)微分可能なら、次の式の √(x²+y²) → 0 の極限が
0になる。
　A=|f(x,y)-f(0,0)-x/2+y|/√(x²+y²)
　=|(2x³-y³)/(4x²+y²)-0-x/2+y|/√(x²+y²)

ここで x=yとすると
　A=|x³/5x²-x/2+x|/(√2|x|)=|1/5-1/2+1|/√２≠0
したがつて、(全)微分可能でない。