テーマ122が成り立つのは普通にやっても合成関数の微分法を利用してもできるのはわかるんですが。 25

テーマ122が成り立つのは普通にやっても合成関数の微分法を利用してもできるのはわかるんですが。
254がなぜ合成関数でやっても成り立つのか分かりません。
テーマのsintを積分し-costにしてx ^2を代入し微分すると2xsinx^2となり微分の時にx^2が一つだけあるので2xが余分についてくるのですが224の問題のように2e^t sintに x^2を代入したらテーマの時と違いx^2が2個あるため、F(x)F‘(2x)だけでなぜできるの？数が変わりそうに思うんですが

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/07/14 11:18

ただ単に、積分区間を分割するだけです。

何か適当に定数 b を置いて
∫[b,x²] f(t) dt = ∫[b,2x] f(t) dt + ∫[2x,x²] f(t) dt.
移項すれば
∫[2x,x²] f(t) dt = ∫[b,x²] f(t) dt - ∫[b,2x] f(t) dt.
F( ) が f( ) の原始関数のひとつであれば、
∫[2x,x²] f(t) dt = F(x²) - F(2x) です。　←(*)
この話は、f( ) が具体的にどんな関数かに依りません。
両辺を微分する前に (*) の形でイコールが成り立つためには、
右辺の F( ) が、共通の積分定数を持つ同じ原始関数
である必要があります。