三角形における線分の比を求める問題が分かりません。

「次の図のように，△ABCの辺AB上にAD：DB=３：５となるような点Dをとる。
このとき，線分AB⊥DCである。
また，辺BC上にBE：EC＝３：２となる点Eをとる。
このときAF：FCを簡単な整数比で求めよ。」
という問題が分かりません。
説明していただけませんか？

No.4 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/02 20:35

|AD|:|DB|=3:5

|BE|:|EC|=3:2

△APCと△BCPの底辺をCPとしたときの
△APCと△BCPの高さの比は
|AD|:|DB|だから
△APCと△BCPの面積の比は
|△APC|:|△BCP|=|AD|:|DB|=3:5
|△APC|:|△BCP|=3:5
5|△APC|=3|△BCP|…(1)

△ABPと△APCの底辺をAPとしたときの
△ABPと△APCの高さの比は
|BE|:|EC|だから
△ABPと△APCの面積の比は
|△ABP|:|△APC|=|BE|:|EC|=3:2
|△ABP|:|△APC|=3:2
2|△ABP|=3|△APC|
↓これと(1)をかけると
10|△APC||△ABP|=9|△BCP||△APC|
↓両辺を|△APC|で割ると
10|△ABP|=9|△BCP|
↓両辺を10|△BCP|で割ると
|△ABP|/|△BCP|=9/10
∴
|△ABP|:|△BCP|=9:10…(2)

△ABPと△BCPの底辺をBPとしたときの
△ABPと△BCPの高さの比は
|AF|:|FC|だから
△ABPと△BCPの面積の比は
|△ABP|:|△BCP|=|AF|:|FC|
↓これと(2)から
∴
|AF|:|FC|=9:10

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
とてもよく分かりました。
ありがとうございました。

お礼日時：2023/01/02 23:45

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/01/02 17:46

ベクトルだけで解いてみました。

Aを基準にした各点の位置ベクトルを b,c,d,e,f とすると

d = (3/8)b
e = (2b+3c)/5

p = c + (d-c)t = es (t, s は適当な実数)　と書けるから

p = c + (d-c)t = c + {(3/8)b - c}t = + (3/8)tb + (1-t)c
p = es = {(2b+3c)/5}s = (2/5)sb + (3/5)sc

b と c の係数は一致するから

(3/8)t = (2/5)s → t = (16/15)s
1-t = (3/5)s → 1- (16/15)s = (3/5)s
→ 15 - 16s = 9s → 25s = 15 → s = 3/5

p = es = {(2b+3c)/5}(3/5) = (6/25)b + (9/25)c

f = b + (p-b)u = kc (u, k は適当な実数)

f＝ b + {(6/25)b + (9/25)c - b}u
= {1 - (19/25)u}b + (9/25)uc = kc

b と c の係数は一致するから
1 - (19/25)u = 0 → u = 25/19
k = (9/25)u = (9/19)c

よって AF:FC = 9:10

あれ？　結局垂直って使わなかったな？

AB⊥DC じゃなくても求まるね。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
ベクトルの考え方でも解けることが分かりました。
ありがとうございました。

お礼日時：2023/01/02 23:45

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2023/01/02 15:12

点P で3線が 交わるなら 外心・内心・重心・垂心 の内どれかですよね。

この図は 問題にあった図であるなら、
問題の条件どうりに 図を書いてみて下さい。
AB⊥DC ならば 点D は もう少し A 寄りで、
点E も 少し B 寄りになる筈です。
それで 考えたら、糸口が 出てくるように思いますが。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
なるべくAB⊥DCになるように作図はしたのですが，カメラで画像を撮るときに影が映らないように斜め方向から撮ったため，かなり実際と異なる図になってしまいました。ありがとうございました。

お礼日時：2023/01/02 23:43