x^2+y^2=1という条件のもとで6x^2+4√3xy+10y^2を最大化・最小化したいのですが、

x^2+y^2=1という条件のもとで6x^2+4√3xy+10y^2を最大化・最小化したいのですが、どうも上手く計算出来ません。勾配=0ベクトルの式を立てて連立しようとしたのですがどうしても文字が消せません。勾配ベクトルが1次式までのもので最小値を求める問題は解けたのですが、最小値と最大値どちらも求める本問は同じようには解けないのでしょうか？解き方を教えていただけるとありがたいです。

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/01/09 22:53

「最大化・最小化」の意味が不明だが、最大最小を求むとする。

　f(x,y)=6x²+4√3xy+10y²・・・・・①
　g(x,y)=x²+y²-1=0・・・・・・・・②
として、ラグランジュの未定乗数法を使う。
　fx=λgx → 12x+4√3y=λ2x
　fy=λgy → 4√3x+20y=λ2y
λを消して
　(6x+2√3y)/x=λ=(2√3x+10y)/y → 6+2√3(y/x)=2√3(x/y)+10
→ -4+2√3u=(2√3)/u → u²-(2/√3)u-1=0
→ u=1/√3±√(1/3+1)=1/√3±2/√3=√3 or -1/√3

u=y/x だから
　y=√3x or -x/√3
として、②にいれて
　y=√3x のとき、x=±1/√2 → y=±√(3/2) (複合同順)・・・③
　y=-x/√3 のとき、x=±(√3)/2 → y=∓1/2 (複合同順)・・・④

有界閉集合上(g=0)の連続関数 f は最大最小を持ち、fが微分可能なら
極値でもある。したがって、それらの候補である停留点③④を①に代
入して、最大最小を選べばよい。

　f(±1/√2, ±√(3/2))=6/2+(4√3)(1/√2)√(3/2)+10・3/2=24・・・⑤
　f(±(√3)/2, ∓1/2)=6・3/4+(4√3)(-(√3)/4)+10/4=4・・・⑥

ゆえに、⑤が最大値、⑥が最小値。

この回答へのお礼

大変わかりやすい説明ありがとうございます！自分でやった段階でもう少し根気よく考えていたらλが消せそうだったので悔しいですがとても勉強になりました。本当に助かりました。

お礼日時：2023/01/10 00:09

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2023/01/10 00:03

目的関数を

　　f(x,y) = 6(x^2) + (4√3)xy + 10(y^2)
と書くことにして、せっかく
　　x^2+y^2=1
だというんだから f(cosθ, sinθ) を考える。すると、倍角公式を使って
　　f(cosθ, sinθ) = (4√3)(sinθ)(cosθ) -2((cosθ)^2 - (sinθ)^2) + 8
　　= -2cos(2θ) + (2√3)sin(2θ) + 8
　　= 4cos(2θ + φ) + 8
cos(2θ + φ)は（φがどうであれ）最大が1、最小が-1だから、fの最大値は 4 + 8 = 12、最小値は -4 + 8 = 4。

　ついでに、fが最大になるのは 2θ + φ = 0 のときで、最小になるのは 2θ + φ= π のとき。そして φ = -arctan((2√3)/(-2)) = arctan(√3) = π/3。

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/01/09 23:29

訂正

③が間違いなので、③⑤を訂正。


u=y/x だから
　y=√3x or -x/√3
として、②にいれて
　y=√3x のとき、x=±1/2 → y=±(√3)/2 (複合同順)・・・③
　y=-x/√3 のとき、x=±(√3)/2 → y=∓1/2 (複合同順)・・・④

有界閉集合上(g=0)の連続関数 f は最大最小を持ち、fが微分可能なら
極値でもある。したがって、それらの候補である停留点③④を①に代
入して、最大最小を選べばよい。

　f(±1/2, ±(√3)/2)=6/4+(4√3)(1/2)(√3)/2+10・3/4=12・・・⑤
　f(±(√3)/2, ∓1/2)=6・3/4+(4√3)(-(√3)/4)+10/4=4・・・⑥

ゆえに、⑤が最大値、⑥が最小値。