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No.2
- 回答日時:
k∈Nに対して
A_k={k}
V_k={x;|x-k|<1/2}
とすると
A_k={k}は1点集合だからコンパクト
A_k⊂V_k
だから
∪_{k=1~∞} A_k ⊂∪_{k=1~∞}V_k
は開被覆
∪_{k=1~∞} A_k
がコンパクトと仮定すると
∪_{k=1~∞} A_k ⊂∪_{k=1~n}V_k
となる自然数nが存在する
n+1∈∪_{k=1~∞} A_k⊂∪_{k=1~n}V_k
だから
n+1∈V_k,1≦k≦nとなるkがある
|n+1-k|<1/2だから
|n+1-k|=0だから
n+1=k,となってk≦nに矛盾するから
∪_{k=1~∞} A_k
はコンパクトでない
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