東大過去問 最大と最小

全ての正の実数 x, y に対し
√x+√y≦k√(2x+y)
が成り立つような実数 k の最小値を求めよ

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/02/18 08:07

計算は No.1 のとおり。

結論が違う。
求めるものは f(u) の最小値じゃなく
全ての u に対し k≧f(u) となる k の最小値
だから、それは f(u) の最大値。 f(2) = 3/√6.

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2023/02/18 08:44

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/02/18 07:55

k≧(√x+√y)/√(2x+y)

x>0 なので、u=√(y/x) として
　k≧(1+u)/√(2+u²)

　f(u)=(1+u)/√(2+u²)
とおくと、
　f'(u)={√(2+u²)-(1+u)u/√(2+u²)}/(2+u²)
　　　=(2-u)/(2+u²)³/²
したがって、
　f(u)は u=2 でピークで u → 0, +∞ となるにしたがって減少。
すると最小値は境界の u=0 , +∞ だが、これらは、実数 x,y>0
の条件に反する。

つまり、kの最小値は無い。

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2023/02/18 08:43