再質問 写真は「ユークリッドの互除法」のイメージ図なのですが これで何故17が最大公約数になるのか分

再質問

写真は「ユークリッドの互除法」のイメージ図なのですが

これで何故17が最大公約数になるのか分かりません

17×17の正方形を敷き詰めてもなぜ

はみ出したり、少し足りなかったりしないのでしょうか？

No.4 ベストアンサー 回答者： BlockedOldManAgain 回答日時： 2023/03/08 09:53

17×17の正方形を敷き詰めて はみ出したり、足りなかったりしないのは、

17 が 221 と 323 の公約数だからです。
この作図法は、ユークリッドの互除法といって、最大公約数が見つかりますが、
ピッタリ敷き詰めるためには、最大でなくても公約数ならokです。
17が公約数だとピッタリになり理由は、緑や黄色の正方形を
17×17の正方形に分割してみればわかると思います。
縦、横の辺の長さが17で割り切れれば、大きな長方形が水色の正方形で
ピッタリ敷き詰められるでしょう？

No.3 回答者： tsumina 回答日時： 2023/03/07 21:31

ユークリッドの互除法とは

2 つの自然数 a,b (a>b) があるとき、
a を b で割ったときの商を q、余りを r とすると
a と b の最大公約数は、b と r の最大公約数に等しい

ということです。それを図示しただけのことです。
なので、

（１）

323と221の最大公約数は

323÷221=1　余り102　なので

221と102の最大公約数に等しい、

＞＞
323 が長方形の横
221が長方形の縦
商が、黄色四角形１つ分
余りが、緑の四角形１辺です

（２）

221と102の最大公約数は、

221÷102=2　余り17　なので

102と17の最大公約数に等しい、

＞＞
221が、緑＋水色全部の長方形の縦
102が、緑の四角形の１辺
商が、緑の四角形２つ分
余りが、水色の四角形の１辺です。

（３）
102と17の最大公約数は、

102÷17=6　余り0　なので

割り切れたので、17が最大公約数ですね。

＞＞
102が、緑の四角形の１辺
17が、水色の四角形の１辺
商が、水色の四角形６つ分
商がないので、四角形はぴったり６つ分です。

順をおっていけば、水色の正方形は、全部をぴったり埋め尽くすのは当然のことになり、結果として最大公約数を示していることがわかります。

No.2 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/03/07 20:08

323÷221=1余り102

⇒ 書き換えると、323=221×1+102①

221÷102=2余り17
⇒ 書き換えると、221=102×2+17②

102÷17=6余り0 ⇒ 書き換えると
⇒ 書き換えると、102=17×6+0③

③を②に代入すると、221=(17×12+17)=17×13
これを①に代入すると、323=17×13+102
これの102へ③を代入すると、323=17×13+17×6=17×19

221=17×13
323=17×19

221と323の共通する因数の最大値が17になるでしょ？
つまり、最大公約数が17だから、
1辺が17の正方形を縦に13個、横に19個、敷き詰めれば、ぴったり。

No.1 回答者： ミラ-_- 回答日時： 2023/03/05 17:56

ユークリッドの互除法を使うと、与えられた二つの自然数の最大公約数を求めることができます。

この問題では、横の長さが323、縦の長さが221の長方形が与えられています。これらの二つの自然数の最大公約数を求めるためには、以下の手順を行います。

二つの数のうち、大きい方を小さい方で割った余りを求めます。323÷221=1余102

求めた余りが0になるまで、小さい方を大きい方で割り、その余りを求め続けます。221÷102=2余17、102÷17=6余0

余りが0になった時の割られる数が、求める最大公約数になります。この場合、最大公約数は17です。

以上が、ユークリッドの互除法を使って横323、縦221の長方形の最大公約数を求める手順です。