軌跡

Question

交点の軌跡の問題です。軌跡についての質問なのですが、「実数kが動くとき、２直線 y= - k(x+1) と ky=x - 1 の交点の軌跡を求め、それを図示せよ。」という問題なのですが、２式から、kを消去した式が求める答えだということはわかるのですが、なぜそれが、交点の軌跡になるのかいまいちよくわかりません。よろしくお願いします。

newtype · Accepted Answer

実数ｋが存在すれば、２直線ｙ＝－ｋ（ｘ＋１），ｋｙ＝ｘ－ 1より、交点（ａ，ｂ）が存在する。
⇔交点（ａ，ｂ）が存在するならば、逆にｂ＝－ｋ（ａ＋１）…（１），ｋｂ＝ａ－ 1…（２）を満たす実数ｋが存在する。
（１）＊ｂに（２）を代入して、
⇔ｂ^2＝－（ａ－ 1）（ａ＋１）  （必要十分であることを注意しよう。⇒は代入。逆はａ－ 1＝ｋｂとすれば、成立）
よって、交点の軌跡は
ｙ^2＝－（ｘ－ 1）（ｘ＋１）＝－ｘ^2＋１

以上

miDumo · Answer

２直線 y= - k(x+1) と ky=x - 1　は　

y=-kx-k
y=1/kx-1/k
となるはず。

２直線ｋの値が変化することにより、傾き、Y切片も変化しますよね。
２直線の傾きはそれぞれ－ｋ、1/kと違う値と言うことだけでもその交点はｋの連続変化とともに移動し軌跡になる。。。

とおもう（笑
なにぶんクイズがてら文系が書いた答えだから(^^;
間違い承知でかきました（汁　添削して下さい・・・・

nikorin · Answer

実際に交点の座標を求めると、ｘ座標とｙ座標がそれぞれkの関数として求まりますよね。
交点がkの変化と共に動き回って軌跡となるわけですが、これは軌跡のパラメータ表示であるというわけです。
ですからkを消去すると軌跡を直接表す式になります。

noname#7269 · Answer

こんにちは！
素直に交点の座標を求めると
Ｘ＝（－Ｋ＾２＋１）／（Ｋ＾２＋１）
Ｙ＝－２Ｋ／（Ｋ＾２＋１）
となります。Ｘ、Ｙを変数Ｋで表したわけです。
そして、２式からＫを消去してＸＹの関係式にするわけです。
この場合、単位円になるはずです。Ｘ＾２＋Ｙ＾２＝１
なので、どこでＫを消去するかではないですか？
ただし、計算するときは気をつけて丁寧にしてくださいね！
例えば、ｋｙ＝ｘ－１　をｋで割るときなどは
ｋが０のときとそうでないときと場合分けしてくださいね。（miDumoさんみたいに）
この問題ではＸＹの分母が必ず正なので関係ないけど。

ranx · Answer

交点の軌跡というのは、二直線の共有点の集合ですから、その座標xとyは、必ず二つの式
y= - k(x+1) と ky=x - 1を満足します。
この場合、二つの式 y= - k(x+1) と ky=x - 1 は、三つの変数x,y,kの「関係」を示すことに
なります。各変数は、様々な値をとるけれども、どのような値をとったにしても、この二式の
「関係」は保たれるということです。
この二式からkを消去した式x^2+y^2=1は、その中で、xとyの「関係」だけを引き出したもの
です。x,y,kがどのような値をとっても、xとyの間にはこの「関係」が保たれるわけです。
つまり、交点の座標は必ずこの式で表される円の上にあります。

ところで、この円の上にある点は、必ず元の二式の交点として表されるでしょうか。答はＮｏ
です。(x,y)=(-1,0)の点は、この円の上にありますけれど、それが交点となるような二直線
y= - k(x+1) と ky=x - 1は存在しません。

ですから、求める答は
x^2+y^2=1 (x,y)は(-1,0)ではない
です。

軌跡

２直線 y= - k(x+1) と ky=x - 1 は

実際に交点の座標を求めると、ｘ座標とｙ座標がそれぞれkの関数として求まりますよね。

実数ｋが存在すれば、２直線ｙ＝－ｋ（ｘ＋１），ｋｙ＝ｘ－ 1より、交点（ａ，ｂ）が存在する。

こんにちは！

交点の軌跡というのは、二直線の共有点の集合ですから、その座標xとyは、必ず二つの式

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