対数関数と直線の交点

ｙ＝ｌｏｇｘ　のグラフと　直線　ｙ＝ｘ／４　の交点の座標を求めようと考えているのですが、わかりません。
もしかしてこれは高校までの知識では解けない問題なのですか？
教えてください。
｜ｌｏｇｘ　－　ｘ｜　を１から３まで定積分しなさいという問題がありました。これがもし
｜ｌｏｇｘ　－　ｘ／４｜　だったらどうするんだろう？　と考えた次第です。

No.1 ベストアンサー 回答者： waseda2003 回答日時： 2004/06/05 11:09

y=log(x)のグラフと直線y=x/4の交点の座標は，

高校の範囲どころか，大学の範囲でも，
正確な値は求められません。
対数関数（超越関数）のグラフと多項式関数の
グラフの交点が求められるのは，かなり特殊な
場合に限られます。

∫_1^3 |log(x)-x| dx については，
正の実数xに対してつねにx>log(x)が成り立つ
ことをもとにして考えるのですから，
本件とは全く別の種類の問題ですね。
（見かけが同じでも，同じ考え方をするとは限らない。）

この回答へのお礼

さっそくのご解答ありがとうございます。
求められないと聞いて安心（？）しました。もし
｜ｌｏｇｘ　－　ｘ／４｜　を１から３まで定積分しなさいという問題だったら、
ｙ＝ｌｏｇｘ　と　ｙ＝ｘ／４　の交点のｘ座標を求めて、積分範囲を分けて絶対値をはずすということになるんだろうな・・・
と考えて交点がほしくなったわけです。
こんな問題は出題されない、ということですよね？

お礼日時：2004/06/05 11:42

No.3 回答者： eatern27 回答日時： 2004/06/05 19:08

#2です。

#2で、あんなこと書いといておい、みたいな感じですが,少し考えてみて,やっぱり、そんな問題ない気がしてきました。

なので、定積分の問題に限らず、交点の座標が求まらないけど、交点の座標がほしいときは、交点の座標を文字でおいてみる、ということだけ、頭の片隅に入れておいてください。

この回答へのお礼

つまり、どんなに工夫して問題を考えてもαが消えることはない・・・かもしれない。
ということですか？私もいろいろ考えてみます。
私が勝手に作った問題を考えてくださり感謝しています。

お礼日時：2004/06/05 23:00

No.2 回答者： eatern27 回答日時： 2004/06/05 14:28

＞こんな問題は出題されない、ということですよね？

解けない場合がほとんどだと思いますが,解ける場合があっても不思議ではないです。その意味で,出題される可能性はあります。

じゃぁ、どう求めるのかというと、

まず、logx-x/4=0,1≦ｘ≦3の解は唯１つなので、その解をαとおきます。(つまり、交点の座標をαと置いた)

すると、1≦ｘ≦αのとき、|logx-x/4|=x/4-logx
α≦ｘ≦3のとき、|logx-x/4|=logx-x/4となるので、

∫[1≦x≦3]|logx-x/4|dx
＝∫[1≦x≦α](x/4-logx)dx+∫[α≦x≦3](logx-x/4)dx

これ以降の計算はできますよね。計算を進めれば、これは、αの式で表されます。

logα＝α/4の関係から,もしαが消えれば、

∫[1≦x≦3]|logx-x/4|dx
の値が求まった,ということになりますよね。


この問題でαが消えるかどうかは別にしても,積分の範囲とか,xの係数を適当に選んだり,logの部分をsinにしたり、みたいな事をすれば、αが消える場合があってもおかしくはないですよね。そういう問題では,交点の座標αが求まらなくても,定積分は求まります。

具体例が思い浮かばないので、本当にそんな問題があるかどうかは分かりませんが・・・。

少なくとも,
・交点が具体的には求まらない
・定積分がからんでいる
・交点の座標をαとおけば、答えが求まる
という問題があったのは覚えています。でも、logの部分はsinだったと思います。

この回答へのお礼

丁寧なご説明ありがとうございました。なーるほど！です。
残念ながらこの場合を計算してみたらαは消えませんでしたが（これは私が勝手に作った問題なので当然か）確かにうまく問題を考えればαが消えることがありそうですね。
大変参考になりました。ありがとうございました。

お礼日時：2004/06/05 18:16