No.1
- 回答日時:
mの値が変化するときmx-y+5m=0…(1) とx+my-5=0…(2)の交点Pの軌跡 をもとめよ
>この問題でなぜ、y=0とy≠0のふたつで場合わけするんですか
(2)より、my=5-xですが、m=…を求めるときに、
yに条件がないので、y=0のときと、y≠0に分ける必要があります。
y=0のときは、m・0=5-xより、5-x=0だから、x=5,
x=5,y=0のとき、(1)に代入して、m=0
よって、このとき、軌跡は求められない。
y≠0のとき、(2)より、m=(5-x)/y (1)へ代入して、
m(x+5)-y=0より、
{(5-x)(x+5)/y}-y=0
25-x^2-y^2=0
よって、x^2+y^2=5^2
このとき、交点Pの軌跡は、中心(0,0)半径5の円
でどうでしょうか?
No.2
- 回答日時:
No1さんの回答に追加して、
mx-y+5m=0 の式を変形すると m(x+5)-y=0 となるので、x=-5の時の挙動も調べる必要があると思います。
x=-5の時、式(1)(2)は -y=0, my-10=0となり、両方みたすyはありません。
逆に、y=0のときはx=5で式をみたします。交点P(x,y)の軌跡はx^2+y^2=5^2ですが、(5,0)は含みますが、(-5,0)は含みません。
|m|→∞ 時 (x,y)→(-5,0)に限りなく近づきます。
No.4
- 回答日時:
(5,0)は軌跡に含まれますよ。
m=0のとき、y=0,x=5は交点(5,0)を持ちます。この点はx^2+y^2=5^2 上の点でもあります。(-5,0)も円周上にありますが、こちらは含みません。
No.5
- 回答日時:
ANo.1です。
(x,y)=(5,0)は、m=0のときだけ、2つの直線の式に代入しも両方とも等式が成り立つので、交点Pと考えてもいいですが、m≠0のときは、交点Pにはなりません。
(x,y)=(-5,0)は、代入しても2つの直線の等式を同時に満たさないので、交点Pにはなりません。
ここでは、y=0とy≠0の場合分けが問題になっているので、
m=0のときは、yは自動的にy=0になってしまうので、その場合yの場合分けの意味がないような気がします。
必ずしも交点になるとは限らない(5,0)を軌跡の中に含めるのは、違うような気がします。
No.6
- 回答日時:
No5さんへ>
何か勘違いされています。mをある一つの値にしたとき、交点が一つ決まるのです。mをある値にしたとき、交点の軌跡ができるわけではありません。
mを動かすからそれに従って交点が動き軌跡を作るのです。m=0のときの交点が(5,0)。m≠0のときは当然別の交点を持ちます。
P(x,y)=(5(1-m^2)/(1+m^2),10m/(1+m^2)) となるのです。
因みにy=0,y≠0の場合分けは出た答えが妥当かどうかの確認に必要ですが、同じ意味でx=-5,x≠-5の時の場合分けも必要です。
No.7
- 回答日時:
ANo.1です。
交点Pの軌跡についてy=0とy≠0の場合分けを生かしてまとめれば、
y=0のとき、m=0であれば、(5,0)
y≠0のとき、x^2+y^2=5^2 ただし、(5,0)(-5,0)を除く。
であれば、少しは納得できます。
あとは、質問者さんの判断に任せます。
No.8
- 回答日時:
というか、そうじゃないでしょ。
「mを動かした時」2直線の交点がどうなるかを調べるのだから、
普通は
1. 先ずmを固定して、2直線の交点を求める
2. 次にmを動かして、交点がどう動くのかを調べる
という手筈でないと本来はおかしい。
で、この順にきちんと解くと、
1.
「mを固定した時」2直線は m(x+5) - y = 0, (x-5) + my = 0なのだから、交点はNo.6さんの通り
1.a m=0の時 (x,y) = (5,0)
1.b m≠0の時 (x,y) = (5*(1-m^2)/(1+m^2), 10m / (1+m^2)) - (A)
となる。で、実際は(A)でm=0とおくと(5,0)になるから、1.aは1.bでm=0の時と
まとめてしまってよい。
2.で、ここで「mを動かす」。
ここで突如m=tan(a/2) - (B)としてaを導入すると、mを「動かした時」
- aは -π < a < πの範囲で動き、(C)
- m=tan(a/2)となるaは与えられたmに対してただ一つ定まること
- よってmとaとはm=tan(a/2)という式によって1対1に対応すること
に注目する。そこで(A)でm=tan(a/2)とおくと、
(x,y) = (5*cos(a), 5*sin(a))となる。aは(C)の範囲で動くのだから、
1.bでmを動かすと、(A)はx^2 + y^2 = 25且つ(x,y)≠(-5,0)の範囲で動く
よって、交点はx^2 + y^2 = 25, 但し(x,y)≠(-5,0)の軌跡を
描く
という風に解けば混乱はないし、論理的にも不安が無いです。
因みに突如(B)という式が出てきたのは、mとaの図形的な意味を
考えれば出てきます。
No.9
- 回答日時:
ANo.1です。
ANo.5です。y=0とy≠0での場合分けは、多分、質問者さんの手元の解答が
そのようになっているのだと思います。
m=0とm≠0に場合分けも考えて見ましたが、
y=0のとき、m=0ならば、(5,0)は交点P,m≠0ならば、交点にはなりません。
(-5,0)は、mの値が何であっても交点にはなりません。
y≠0のときは、軌跡の中から、(-5,0)(5,0)の点を除くことになるので、
x≠5になり、このときは、必ずm≠0になります。(m=(5-x)/yなので)
m≠0のとき、(5,0)(-5,0)を除くx^2+y^2=5^2の部分
m=0のとき、(自動的にy=0になる)(5,0)、
なので、
結局、y=0とy≠0の場合分けと同じだと思います。
No.10
- 回答日時:
No9さん
2直線の交点のうちy≠0である所の部分はx^2+y^2=5^2の内(-5,0) (5,0)を除いた部分「の内どこか」であることはいいですが、(-5,0) (5,0)を除いた部分「全部をきちんと通る」ことの議論はきちんとしていますか?
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