軌跡の問題で動点Pの座標を(p,q)とおく場合、Pの関係式を考えた結果p^2+q^2=4となったとし

軌跡の問題で動点Pの座標を(p,q)とおく場合、Pの関係式を考えた結果p^2+q^2=4となったとします。座標軸がxy だったときはさっきの式をx^2+y^2=4としますよね。これってx^2+y^2=4にP(p,q)を代入した結果がp^2+q^2=4だからPは円x^2+y^2=4上にあるって考え方でいいですかね？あともしPを(x,y)と置いた場合はこの過程を省略できる(頭の中では考える)。というのも考え方として合っているか知りたいです。ややこしい質問でごめんなさい。

質問者からの補足コメント

• Pの座標を(x,y)として置き換え、x^2+y^2=4となるのは理解できますがそのx,yはPの座標としてのx,yじゃないですか。それを円の方程式と考えてしまっていいんですかね？

    補足日時：2022/04/10 14:30

No.2 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2022/04/10 16:21

>軌跡の問題

というのは、点Pに関する何らか与えられた条件A(P)があって、「条件A(P)を満たすP」の集合すなわち、集合
　　{P | A(P)}
を求める問題です。この集合をSとしましょう。

　一方、
　　{(x,y) | x^2 + y^2 = 4}
という集合をCとしましょう。すなわちCは「方程式 x^2 + y^2 = 4 の解(x,y)の集合」です。もちろんこれを
　　{(p,q) | p^2 + q^2 = 4}
と書いても全く同じことで、
　　{(x,y) | x^2 + y^2 = 4} = {(p,q) | p^2 + q^2 = 4}
ですね。

> Pの座標を(p,q)とおく場合、

つまり
　　P = (p,q)
としたわけです。だからPの代わりに(p,q)と書いても同じこと。で、

> Pの関係式を考えた結果p^2+q^2=4となった

というのは、「条件A((p,q))を満たす動点(p,q)」はどれもp^2+q^2=4を満たしている、という意味です。
　ところで、「条件A((p,q))を満たす(p,q)」の集合をSとしたのでしたから、
　　∀p∀q( (p,q)∈S ⇒ p^2+q^2=4 )
だと分かった訳です。で、これをさらに言い換えれば
　　∀p∀q( (p,q)∈S ⇒ (p,q)∈C )
であり、さらにさらに言い換えれば、結局
　　S ⊂ C
ということです。
================

　以上まとめますと、「(p,q)か(x,y)か」なんて心配をしなきゃならんのは、集合を
　　C = {(p,q) | p^2 + q^2 = 4}
のようにキチンと書かずに、省略して
　　 p^2 + q^2 = 4
で済ませているのが原因、というわけです。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/04/10 14:10

「Pは円x^2+y^2=4上にある」を示しただけでは、

P の軌跡が円の一部だけかもしれません。代入は非可逆性の元です。
ちゃんと逆が言える考え方でないと、軌跡を求めたことにはならない。
P の座標を (p,q) と置くと軌跡は p^2+q^2=4 だから
P の座標を (x,y) と置けば軌跡は x^2+y^2=4 と書ける
...という置き換えが必要です。
最初から「Pを(x,y)と置いた場合はこの過程を省略できる」のですが、
x,y は図形問題ではいろいろ使い廻されるので
他のものと混同が起こらないようにするには
一旦 (p,q) とか他の変数名で置いたほうが安全な場合が多いでしょう。