2点を通る半径rの円の中心の座標

2点 (a,b), (0,c) を通る半径 r の円の中心の座標を求めよ．
ただし，Δ=-1 + 4r^2/{a^2+(b-c)^2} >0 とする．

上手に求める方法はないでしょうか。

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2012/03/04 21:20

求める中心の座標を(x,y)とすると

　r^2=(x-a/2)^2+(y-(b+c)/2)^2+(a/2)^2+((b+c)/2-c)^2
　r^2=x^2+(y-c)^2
この連立方程式を解けばよい。

>上手に求める方法はないでしょうか。

求める円が存在するようなr,a,b,cに対しては、連立方程式が解けて２点A(a,b),B(0,c)を結ぶ線分ABの垂直二等分線上に、線分ABに対して対称な位置に、求める円の中心が２個存在する（ただし、r>AB/2)。

しかし、文字パラメータa,b,c,rを含んだまま、
連立方程式を解くのは、文字定数がa,b,c,r(>0)多いので計算が煩雑で大変である。
数式処理サイトを使って、解くと良いでしょう。
次のサイト
http://www.wolframalpha.com/
で
solve([r^2=(x-a/2)^2+(y-(b+c)/2)^2+(a/2)^2+((b+c)/2-c)^2, r^2=x^2+(y-c)^2],[x,y])
と入力して実行すると
２組の（x,y）を求めてくれます。
(x,y)の式は非常に長くここに載せきれませんので、上のように入力して中心の座標(x,y)の
式を見てください。

手計算では計算が大変だろうとわかるかと思います。
a,b,c,rが数値で与えられているなら、手計算でも計算は容易にできるだろうね。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
しかし、中心の座標は、
({a＋(b-c)√Δ}/2 , {b+c－a√Δ}/2 )
または、
({a－(b-c)√Δ}/2 , {b+c＋a√Δ}/2 )
と具体的に表されるそうです。

お礼日時：2012/03/04 22:27

No.2 回答者： bunbku 回答日時： 2012/03/04 23:58

問題から少々離れて話しますが、

「２点を通る円の中心座標は、２点を結ぶ線分の垂直２等分線上の点になる」

これは図を書いて考えると分ると思います。
２点を通る円は半径ｒを変えれば色々な円になりますが、中心位置は上記のようになります。
後はｒと２点の座標を使ってうまいこと表現出来ればいいのです。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2012/03/10 23:37

No.3 ベストアンサー 回答者： nag0720 回答日時： 2012/03/05 00:09

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

x^2+(y-c)^2=r^2
２式の差を計算して整理すると、
2ax+2(b-c)y-(a^2+b^2-c^2)=0
（ちなみにこれは、２点を結ぶ線分の垂直二等分線の式になります）
これをx=・・・の形にして元の円の式に代入すれば、通常の２次方程式になりますから、
解の公式を使えばyが求められます。
それを、x=・・・の式に代入すれば、xも求められます。

そんなに難しい計算じゃないので御自分でどうぞ。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2012/03/10 23:37