加法定理の、tan195°(135°＋60°)が、2－√3になる理由を教えてください。何回やっても、

加法定理の、tan195°(135°＋60°)が、2－√3になる理由を教えてください。何回やっても、√3－2になります。tan135°って、－1じゃないんですか？

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2023/09/26 11:45

加法定理

　tan(A + B) = (tanA + tanB)/(1 - tanA･tanB)
で
　A = 135°
　B = 60°
にすればよいのだから
　tanA = tan(135°) = -1
　tanB = tan(60°) = √3
を代入するだけだよ？

あとは「分母の有理化」をちゃんとやればよい。
やってみれば

　tan(A + B) = (-1 + √3)/[1 - (-1)√3]
　　　　　　= (√3 - 1)/(√3 + 1)　　　　← √3 > 1 なので順序を入替
　　　　　　= (√3 - 1)^2 /[(√3 + 1)(√3 - 1)]　　　← 分母有理化のため、分母・分子に「√3 - 1」を掛ける
　　　　　　= (3 - 2√3 + 1)/(3 - 1)
　　　　　　= (4 - 2√3)/2
　　　　　　= 2 - √3

おそらく、質問者さんは「分母の有理化」のところでなんか間違いをしているのでしょうね。分母・分子の「符号（正負）」のあたりで。

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2023/09/25 21:23

＞tan135°って、－1じゃないんですか？

その通りですよ。
で、tan195° は 第3象限の角ですから、tan195°>0 ですよ。
したがって √3-2<0 ですから tan195° の値でないことは 明白です。
あなたの答えの 計算式を 見せてくれますか。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/09/25 19:06

「 tan195°(135°＋60°) 」ってなんじゃいな？

「 tan195° が 2-√3 になる理由を教えてください。
　ちなみに 195° = 135°＋60° です。」って言いたいのかな。

tan の加法定理 tan(α+β) = (tanα + tanβ)/(1 - tanαtanβ) を使うと、
tan195° = tan(135°+60°) = (tan135° + tan60°)/(1 - tan135°tan60°)
　　　　= ((-1) + √3)/(1 - (-1) √3))
　　　　= (-1 + √3)/(1 + √3))
　　　　= { (-1 + √3)(-1 + √3) }/{ (1 + √3)(-1 + √3) }
　　　　= { 1 - 2√3 + 3 }/{ -1 + 3 }
　　　　= { 4 - 2√3 }/2
　　　　= 2 - √3.
です。(tan135° = -1 であり、それを使ってます。)

あなたがどこを間違ったかは、
= √3 - 2 になった計算の途中を見なければ判りません。


195° = 135° + 60° もいいけれど、
195° = 180°+ 15° を使って、 tan195° = tan(180°+60°) = tan15°.

tan の倍角公式
(tan15° + tan15°)/(1 - tan15°tan15°) = tan30° = 1/√3 より
(2√3)tan15° = 1 - (tan15°)^2 が成り立つから、
二次方程式を解いて tan15° = - √3 ± 2.
tan15° > 0 より tan15° = - √3 + 2.

のほうがスッキリしてるようには感じます。

No.1 回答者： 河内のおやじ 回答日時： 2023/09/25 18:28

tan(195°)はtan(135° + 60°)と等しいです。

tan(135°)とtan(60°)を計算し、その結果を引き算すれば、2 - √3になる理由を説明します。

まず、tan(135°)を計算します。tan(135°)は通常の単位円上での角度135°の位置におけるタンジェント値です。この場合、tan(135°) = -1です。

次に、tan(60°)を計算します。tan(60°)も単位円上の角度60°の位置におけるタンジェント値です。tan(60°) = √3です。

これらの値を引き算すると、tan(195°) = tan(135° + 60°) = -1 - √3 = 2 - √3 となります。

したがって、tan(195°)は2 - √3になる理由は、tan(135°)とtan(60°)の値を計算し、それらを引き算した結果が2 - √3に等しいからです。