x/{(x+a)(x+b)}の不定積分の途中式を教えてください。

x/{(x+a)(x+b)}の不定積分の途中式を教えてください。

質問者からの補足コメント

• a≠b

    補足日時：2023/10/01 22:58

No.5 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/10/02 06:15

x/{(x+a)(x+b)}

=A/(x+a)+B/(x+b)
={A(x+b)+B(x+a)}/{(x+a)(x+b)}
=(Ax+Ab+Bx+Ba)/{(x+a)(x+b)}
=(Ax+Bx+Ab+Ba)/{(x+a)(x+b)}
=((A+B)x+Ab+Ba)/{(x+a)(x+b)}

A+B=1
Ab+Ba=0
B=1-A
Ab+(1-A)a=0
Ab+a-Aa=0
a=Aa-Ab=A(a-b)
a/(a-b)=A
B=1-a/(a-b)=-b/(a-b)
x/{(x+a)(x+b)}={1/(a-b)}{a/(x+a)-b/(x+b)}

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/10/03 09:07

部分分数分解に関してはこれも天下りだけど

https://manabitimes.jp/math/755

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/10/02 13:25

天下りだけど「部分分数分解の一般形」

https://manabitimes.jp/math/1221#1

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/10/02 00:28

＞ 式の1行目から2行目の式変化がわかりません。

そうか、部分分数分解を知らないってことか。
そのレベルだと、質問サイトじゃなくて、
教科書を一度通読したほうがいいんだけどな。

目的の分数式 x/((x+a)(x+b)) の分母が (x+a)(x+b) であることから、
部分分数展開が (目的の式) = (xの多項式) + (定数)/(x+a) + (定数)/(x+b) …①
であることがまず判る。

① の式で x→∞ の極限を取ると、 0 = lim[x→∞](xの多項式) + 0 + 0 となる。
lim[x→∞](xの多項式) = 0 となる多項式は、定数式 0 だけである。

以上から、x/((x+a)(x+b)) = 0 + A/(x+a) + B/(x+b) …② と置いて、
定数 A, B を求める。

② の両辺に (x+a) を掛けると、x/(x+b) = A + B(x+a)/(x+b) …③.
③ は x ≠ -a かつ x ≠ -b の範囲で成り立つから、
x → -a の極限を取って -a/(-a+b) = A + 0.　これで A の値が判った。

B の求め方も同様。
② の両辺を (x+b) 倍してから x → -b の極限を取ると、
-b/(b-a) = 0 + B …④.

③④の式を作るとき、x = -a や x = -b を代入するのではなく
x → -a や x → -b の極限を取ったことは、
(計算上あまり気にする必要もないが、少なくとも理論的には)大切だから
かみしめといてもらえると、一生懸命書いたカイがあるというものだ。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/10/01 23:35

1/[(x-a)(x-b)] を部分分数に分解することはできる?

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/10/01 23:20

型どおり、部分分数分解すればいいだけでは？

∫{ x/((x+a)(x+b)) }dx
= ∫{ (a/(a-b))/(x+a) - (b/(a-b))/(x+b) }dx
= (a/(a-b)) ∫{ 1/(x+a) }dx - (b/(a-b)) ∫{ 1/(x+b) }dx
= (a/(a-b)) log(x+a) - (b/(a-b)) log(x+b) + C　　　　；Cは定数

この回答へのお礼

すみません。式の1行目から2行目の式変化がわかりません。申し訳ないのですが、詳しくお願いできますか？

お礼日時：2023/10/01 23:30

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/10/01 23:13

どこでなにに困っている?

この回答へのお礼

xがない場合なら部分分数分解でできますが、xが上にあるのでどういう風に解くのがmustなのかな？って感じです

お礼日時：2023/10/01 23:20