空間ベクトルの問題

よろしくお願いします。

四面体ABCDについて、A,Bからそれぞれの対面に垂線AA’,BB’をおろす。

AB⊥CDであるならAA’とBB’は交わることを証明せよ

という問題です。

方針を、
①AA’の点を仮定し(たとえばPなどと)、BPが△ACDと垂直であることを示せれば、、
②Bから△ACDに下ろす垂直は一つしかないから、AA’上にもBB’上にも存在するPは二直線の交点である

という感じに考えてみて、とりあえずベクトルAPをベクトルAA’の実数倍で表して内積計算をしていったら、BP⊥CDまでは導けたのですが、BP⊥ACかBP⊥ADのいずれにも導けません。

方針間違いでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 訂正です
  
  ＞①AA’の点を仮定し(たとえばPなどと
  
  正しくは、AA’上の点を仮定し　です。失礼しました。

    補足日時：2023/12/11 11:33

No.5 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2023/12/14 16:03

ここはやはりA、B、A'、B'が同じ平面上にあって

AA’、BB'は平行でないからこの２つの直線は交わる
と結論するのが早いでしょうね。
で、A、B、A'、B'が同じ平面上にあることの証明は以下の通り：
点A、Bから直線CDに垂線を引いてその足をそれぞれE、Fとすれば
↑AB＝↑AE＋↑EF＋↑FB、これに↑CDを内積的にかけると
条件から
↑CD・↑AB＝0、また↑CD・↑AE＝0、↑CD・↑FB＝0より
↑CD・↑EF＝0　ここで↑EF＝ｋ↑CDと書けるから
ｋ|↑CD|^2＝0、ｋ＝0、点E=点F
これはAから直線CDに引いた垂線の足とBからCDに引いた垂線の足が
一致することを示すからA、Bは直線CD上のある点Hを通ってCDに
直交する平面πに含まれることを示す。
また↑AA'、↑BB'は↑CDと垂直だから上とまったく同じようにして
A'、B'も平面π上にあることがわかる。

とまあこんな感じです。
結局AA'、BB'の交点Pは三角形ABHの垂心になっているのです。
垂心Pをベクトルで表わすのはむずかしいと思う。

この回答へのお礼

ありがとう御座いました。返事遅れてすいません。

お礼日時：2024/01/13 01:07

No.4 回答者： syotao 回答日時： 2023/12/13 17:18

あなたの質問の意味を勘違いしてました。

ごめんなさい。

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2023/12/13 12:31

BP⊥ACは次のようにして導ける。

(以下B'A等はベクトル、・は内積と解釈してください）
B'A＋AC＋CB'＝0　において
BB'⊥B'A、BB'⊥CB'だから上の式の両辺にBB'を内積的にかければ
B'B・AC＝0、
一方BPはBB'の向きにあるからBP=ｋBB'とかけるので
BP・AC＝ｋBB'・AC＝0
ゆえにBP⊥AC
BP⊥AD　も同じように導けます。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2023/12/11 14:02

線分AA'と線分BB'の交点を探そうとするよりも、むしろ、線分AA'と線分BB'が（交点を持つのだから）同一の平面pに含まれている、その平面pを探すことを考えるのが吉でしょうね。

　pと線分CDの交点をXとすると、線分AXも線分BXも、どちらも線分CDと直交するでしょ。
　そこで話の順番を逆にする。
　すなわち、Aから線分CDに降ろした垂線の足をX、Bから線分CDに降ろした垂線の足をYとする。そして、X=Yを示せば、平面pが決まるわけです。

この回答へのお礼

なるほど。ご回答ありがとう御座いました。

お礼日時：2024/01/13 01:08

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2023/12/11 13:17

その方針で上手くいくかどうか、わかりませんが

AA’Ｂと
ABB'は共にCDと垂直
→AA’ＢB'は同一平面
同一平面上の平行でない異なる２直線は一点で交わる
と言う発想は自然かもしれません…

この回答へのお礼

遅くなりました。ご回答ありがとう御座いました。

お礼日時：2024/01/13 01:06