ラグランジュ乗数法に関して

f(x,y)=x^3-xy+y^3において、領域D：-1≦x≦1，0≦y≦1

の最大最小値を求めよ。

どう考えるのでしょうか？ラグランジュ乗数法と睨んでるんですが、領域Dをどのように定式化知ればよいのかわからずできません。

ラグランジュ乗数法の理論的なところはわかっているのですが、それ以前の問題なのでわかる方知恵を貸してください。

No.2 ベストアンサー 回答者： funifuni11 回答日時： 2005/08/08 00:53

えー、ラグランジュの未定乗数法で解けないこともないですが、

普通はこの方法は等式制約条件に対して用いるため、
今回の場合みたいな不等式制約条件だと、
少し特殊なテクニックを使わなければなりません。

普通にこの問題を解く場合には、
偏微分して考えるのが一番ラクなんじゃないか
と思います。
最大最小になりうるのは、
(1)極大値、極小値
(2)領域Dの境界上の最大値および最小値
ですが、まず(1)について。
∂f/∂x=0, ∂f/∂y=0を連立させると、
解として(x,y)=(0,0)と(1/3,1/3)が出てきます。
これが極大極小の候補ですが、それぞれについて
2次偏微分係数を調べてみると、
(0,0)は極大でも極小でもなく、(1/3,1/3)が極小である
ということがわかります。
そして、f(1/3,1/3)=-1/27で、これが最小値の候補です。

次に、(2)。まぁ、これはわかりますね。
x=1とか、x=-1とか、y=1とかy=0とか、
いろいろ代入してやれば文字が一つ減りますから、
その中で最大最小を出せばいいわけです。
結局、(x,y)=(-1/√3, 1)のときに最大値1+2√3/9
(x,y)=(-1,0)のときに最小値-1
になります。これと(1)をあわせれば、
たぶん最大値1+2√3/9, 最小値-1 となります。
(計算ちょっと自信なし…)


さて、ラグランジュの未定乗数法について。
理論は分かっているということですので、概略だけ。
不等式制約条件を式で表すには、まぁ全部そのままでも
いいんですけど、式の数を少なくするために、
x^2 - 1 <=0, (y-1/2)^2 - 1/4 <= 0 とします。
こうすれば式の数が4つから二つに減りますからね。
これを次のようにして強引に制約条件にします。

新たな変数p, qを導入します。
p^2およびq^2は必ず正ですから、
x^2-1+p^2=0, (y-1/2)^2-1/4+q^2=0
となります。これらをg,hとすれば、
この二つの式を制約条件として、
L = f + λ1g + λ2h
を考え、これを6個の変数x, y, λ1, λ2, p, q
で偏微分します。それぞれを０とおいて連立させ、
出てきた解が、最大値、最小値の候補です。
あとは解を吟味すればよいです。

でも、相当にめんどくさい＆難しいと思います。
頑張ってやってみてください。

ふぅ、疲れた。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
懇切丁寧でわかりやすかったです・

お礼日時：2005/08/08 11:43

No.3 回答者： sp112233 回答日時： 2005/08/08 01:18

１です。

ごめんなさい間違っていました。
予選決勝法で、ｘを固定したとき，
ｙ＝1で最大値で、このときｘ＾3-ｘ+1ですから、
ｘ＝-1/√３で最大となります。

この回答へのお礼

どうも、理系なのに気づきませんでした。
ありがとうございます。

お礼日時：2005/08/08 10:18

No.1 回答者： sp112233 回答日時： 2005/08/08 00:51

予め私が文系であることをお許しください。

さて、まず極値を考えます。（1/3，1/3）で極小値-1/27です。ほかに極値は存在しませんので、
あとは領域の境界上の点を個別に調べて終わります。
ｆ（-1，0）＝-1
ｆ（1，0）＝ｆ（-1，1）＝ｆ（1，0）＝1
で最小-1、最大1でいいんじゃないでしょうか。
全く自信がないのですが。