二次関数の最大値・最小値

私は、数学が苦手です。
明日のテスト範囲にこんな問題をだされました。
はっきり言って、
数学の苦手な私には、全くこの問題が理解できません（汗）
解き方はなんとなくは分るのですが、いまいち分りません。
解き方を教えてもらえると、とてもありがたいです!!
よろしくお願いします。

関数ｙ＝Ｘ2－２ax＋１(０≦ｘ≦２)の最大値・最小値、およびそのときのｘの値を次の各場合について求めよ。
（1）ａ≦０
（2）０＜ａ＜１
（3）ａ＝１
（4）１＜ａ＜２
（5）２≦ａ

No.3 回答者： maku_x 回答日時： 2007/07/08 12:47

とりあえず与式を平方完成すれば、自ずから答えは出てきます。

(a) a≦0のとき
y = x^2 + 2|a|x + 1
= (x + |a|)^2 + (1 - a^2) ・・・ [1]
但し、|a| は a の絶対値とする。
(b) a>0のとき
y = (x - a)^2 + (1 - a^2) ・・・ [2]

あとは a の値に応じて場合分けし、地道に計算するだけです。

(1) ａ≦０
最小値は x = a のとき。但し x≧0 の条件があるため、最小値は x = 0 のときになる。このとき y = |a|^2 + 1 - a^2 = 1
(x,y) = (0,1)
最大値は x≦２ のとき。x = 2, y = (2 + |a|)^2 + 1 - a^2 = 4 + 4|a| + |a|^2 + 1 - a^2 = 5 - 4a
(x,y) = (2,(5-4a))

(2) ０＜ａ＜１
最小値は x = a のとき。
y = (- a)^2 + 1 - a^2 = 1
(x,y) = (a,1)
最大値は x = 0 か x = 2 のどちらかだが、0<a<1 から、頂点から遠い方の x = 2 で最大値となる。
y = (2 - a)^2 + 1 - a^2 = 4 - 4a + a^2 + 1 - a^2 = 5 - 4a
(x,y) = (2,(5-4a))

（3）ａ＝１
最小値は x = a = 1 のとき。
y = (1 - 1)^2 + 1 - 1^2 = 0
(x,y) = (0,0)
最大値は x = 0 か x = 2 のどちらかだが、a = 1 なので、x = 0, x = 2 両方とも最大値となる。
y = (0 - 1)^2 + 1 - 1^2 = 1
(x,y) = (0,1), (2,1)

（4）１＜ａ＜２
最小値は x = a のとき。
y = (a - a)^2 + 1 - a^2 = 1 - a^2
(x,y) = (a,(1-a^2))
最大値は x = 0 か x = 2 のどちらかだが、1<a<2 から、頂点から遠い方の x = 0 で最大値となる。
y = (0 - a)^2 + 1 - a^2 = 1
(x,y) = (0,1)

（5）２≦ａ
最小値は x = a のとき。但し x≦2 の条件があるため、最小値は x = 2 のときになる。
y = (2 - a)^2 + 1 - a^2 = 4 - 4a + a^2 + 1 - a^2 = 5 - 4a
(x,y) = (2, 5-4a)
最大値は x = 0 のとき。y = (0 - a)^2 + 1 - a^2 = 1
(x,y) = (0,1)

No.2 回答者： koko_u_ 回答日時： 2007/07/08 12:16

わざわざ問題文で a の値が場合分けされているので、

とても「優しい」問題です。

No.1 回答者： T-gamma 回答日時： 2007/07/08 12:10

>解き方はなんとなくは分るのですが、いまいち分りません。

質問者様がどの程度理解されており、どのあたりが分からないのかを把握する為にも、1度自分なりの解答を載せて下さい。そうじゃないと、こちらもどう答えてよいか分かりません。