数学の流れ、数→式→図形→関数→？

数学のひとつの流れとして、
数から式へ、
式から図形へ、
図形から関数へ、
と対象を変化・発展してきたと書物に書いてありました。

異論もあるかもしれないですが、中学・高校の教科書も、おおまかには、

数→式→図形→関数

といった流れになっているとも思います。

では、数学の世界で、関数からはどういった対象に流れていっているのでしょうか?

No.3 ベストアンサー 回答者： zk43 回答日時： 2007/10/21 13:38

まず最初に物を数えることから数が生まれたのは良いと思います。

次に古代のギリシャなどでは常に数と図形を関連づけて考えていたと
考えられます。
例えば６＝２×３のような数は縦２、横３の長方形の面積と関連づけて
長方形数などとも呼ばれたそうです。
また、(a+b)^2=a^2+2ab+b^2のような現在では当たり前の式も、当時は
図形の面積を通じてとらえられていたようです。
ピタゴラスの定理にしても、現在ではa^2+b^2=c^2などと表わされます
が、斜辺の上の正方形の面積は、他の二辺の上の正方形の面積の和に
等しいととらえられていたようです。
ということで、古代では数と図形は常に一体として考えられていたと
思われます。
式とは文字式を使ったものと考えると、おそらく１６世紀ころから
といわれています。ここから数学の急速な進展が始まったとも言われて
います。（これまでの1000年以上の間は目立った数学の進展はなく、
数学の暗黒時代とも言われているそうです。）
関数の概念が明確に定義されたのは１８世紀ころか、あるいは１９世紀
に入ってからと思います。
オイラーは、関数を、独立に変化する量に付随して変化する量のように
記述しています。
また、オイラーは現在使われているΣ、πなどの多くの記号を作ってい
ます。
ということで、歴史的な流れとしては、
　数・図形→式（文字の導入）→関数
の流れになると思います。
関数から先は、関数よりも一般的な写像になって、集合論に基づく数学
ということになるでしょうか。
そして究極的には数の本質的な性質（素数に関することなど）を解明す
る数論に帰ってくるのでしょうか？
この辺は人によって違うでしょうが、個人的な考えとして・・・

No.2 回答者： apple-man 回答日時： 2007/10/21 04:13

数→式→図形→関数→位相

でおおまかにはいいのだと思います。

位相を考えるとき、集合（群論）、写像の
概念を駆使しており、図形の概念を拡張して
多様体で考えているということだと思います。

No.1 回答者： koko_u_ 回答日時： 2007/10/21 03:38

再び「数」に戻る。

個別の関数ではなく「関数の総体」がどのような性質を持つのかに興味は移ります。この時、個別の関数はその「総体」の中では「数」となり、関数の関数などを考えたりしますね。

抽象化が進むので、「数」とか「式」とか「図形」とかの境界は曖昧となり、渾然一体となります。そして再度「数とは何か」を追求するのです。

# 自分でナニを言っとるのかワカラン。