フーリエ解析

気象学で、EXCELを用いたフーリエ解析を行っています。
非常に根本的な質問なのですが、データのサンプル数は何故２のべき乗であるべきなのでしょうか？

また、出力値の複素数は、いったいなんの意味を表しているのですか？

時系列の時間データと出力値を、周波数と振幅に変換する方法も教えてください。この場合、周波数と振幅はそれぞれ何を示しているのですか？

ほとんど数学の知識がないためこのような質問で大変恐縮ですが、お願いします。

No.4 回答者： Meowth 回答日時： 2007/10/24 16:08

データのサンプル数は何故２のべき乗？

AN3などのアルゴリズムを見ればわかると思いますが、
DFTの計算で時間がかかるのはSIN　COS（EXP）などの
値を求めることです。しかしその値は、周期のｎ等分点（や
それを何周かまわしたとこの値）の値のため、
ｎを2のべき数に選ぶと　各項で現れるSIN、COSの値が
おなじ値が現れて、一度計算テーブルを作ると、新たに
計算する必要がなくなり、計算が速くなるのです。また、データ
との積もSIN　COSの周期性のため、おなじ演算が多数でてくるので
それを1度の計算ですますことができれば、早く演算できます。
そのような工夫をして演算回数を減らしたのがFFTです。

時系列の時間データと出力値を、周波数と振幅に変換する方法
離散データ系列を周波数と振幅に変換する（方法の１つ）のがFFTです。

No.3 回答者： N64 回答日時： 2007/10/24 09:58

こちらに、ＦＦＴのアルゴリズムを説明したＨＰがありました。

http://mars.elcom.nitech.ac.jp/java-cai/signal/f …

No.2 回答者： N64 回答日時： 2007/10/24 09:51

高速フーリエ変換（ＦＦＴ）は、プログラムを書きこんだマイコンを搭載した測定器で、行うことが多いように見受けられます。

２の冪乗（２５６など）は、おそらく、マイコンの資源を最大限に有効に使うために、必要なのでしょう。2分割、4分割、8分割、16分割、というように、2分割を繰り返すようなアルゴリズムでも、使われているのでしょうか？そのほかは、http://oshiete1.goo.ne.jp/qa448759.html
がご参考になるかも知れません。

No.1 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2007/10/24 09:45

＞データのサンプル数は何故２のべき乗であるべきなのでしょうか？

　FFTという手法を使っているからです。高速フーリエ変換の略です。フーリエ変換を考え出したフーリエさんのオリジナルな方法を使うと、非常に低速なフーリエ変換になります。そのアルゴリズムを効率化して高速化したのが、現在ふつうに使われているFFTです。その手法の制限から、サンプル数は２のべき乗というのが来ています。

＞複素数は、いったいなんの意味・・・
　複素数の絶対値が振幅スペクトル，複素数の偏角が位相スペクトルを表します。

＞周波数と振幅はそれぞれ何を示している・・・
　あらたまって訊かれると、応えにつまります・・・。振幅スペクトルと位相スペクトルの情報があると、波を再構成できるとだけ、ここでは言います。参考URLとして、
　http://www.geocities.co.jp/AnimalPark-Shiro/1620/
なところはどうでしょうか？。