Vitali集合の外測度

Question

Vitali集合の外測度は、いくつになるのでしょうか。また、それは選択公理を使った元の選び方によらず決まるのでしょうか。

ご回答よろしくお願いいたします。

tecchan22 · Accepted Answer

えっと、これでいけるかな？

まず、［０，１）に含まれる区間の可算列 I_n （n∈Ｎ）で、
I_n の 長さの和が１未満のもの全体Ｕを考える。
（I_n たちの和集合Ｉを、この列の union ということにする。僕も英語を使ってみたくなっただけだが・・＞＜）

さて、
【補題１】任意のＵの元の union は、区間の両端が全て有理数である、あるＵの元の union に含まれる。

【証明】
なぜならば、任意のＵの元 I_n (n∈Ｎ）に対し、その長さの和をαとするとき、α＜β＜１なるβを任意に一つ取ってきて、各区間 I_n を、区間内の中点を中心にβ／α倍に拡大した区間を J_n とすると（ J_n は［０，１）に入るとは限らない）、J_n たちの長さの和はβになる。
ここで、I_n の長さが０でないとき、I_n ⊆ K_n ⊆ J_n かつ K_n ⊆［０，１）となる、端点が有理数である区間 K_n が取れる。（有理数の稠密性より。 J_n の端点が［０，１）からはみ出していれば、端点として０や１を取ればいい。）
I_n の長さが０のとき、(1)空集合ならば、K_n ＝（０，０）とする。(2)I_n ＝［ｃ，ｃ］（ｃは有理数）ならば、K_n ＝ I_n とする。(3)I_n ＝［ c_n , c_n ］（ c_n は無理数）なる区間 I_n たちに関しては、ｎが小さい順に、長さがγ／２，γ／４，γ／８，・・・（ただし、γは１－β未満の正の有理数）となる、c_n を含み両端が有理数である区間 K_n に置き換える。
すると K_n (n∈Ｎ）は、長さの和がβ＋γ（＜１）以下より、Ｕに入る。明らかに I_n の union は、K_n の union に含まれる。■

だから、外測度１の Vitali集合があることを言うには、Ｕのどの元の union にも含まれない Vitali集合を構成すれば良い訳だが、それには、区間の両端が全て有理数であるようなどのＵの元の union にも含まれない、Vitali集合を構成すればよい。

そこで、Ｕの元のうち、有理数を端点とする区間の列であるもの全体をＷとおく。
【補題２】Ｗの濃度はω１（アレフ）である。

【証明】
なぜならば、Ｗの元 I_n (n∈Ｎ)に対し、a_2n = ( I_n の左端点 ) , a_2n+1 = ( I_n の右端点 ) とすると、数列 a_n は有理数の可算列になり、Ｗの濃度≦有理数の可算列全体の濃度＝ω＾ω＝ω１
また、（０，１）内の任意の実数ｘに対し、ｘに収束する有理数の狭義単調増大列 a_n (n∈Ｎ)（ただし a_0 = 0 とする）が存在し、この a_n から上の逆により区間列 I_n をつくると、I_n ∈Ｗであり、しかも、この I_n たちの union は全て異なる（ sup が違う）から、（０，１）からＷへの単射がつくれた。つまり、Ｗの濃度≧ω１
以上より、Ｗの濃度＝ω１　■

ということで、Ｗの元を一列に並べ、ω１未満の順序数と一対一に対応させ、Ｗ＝｛w_0,w_1,・・｝＝｛w_α：αはω１未満の順序数｝とする。
w_i の union を v_i とおく。
さて、Vitali集合Ｖの元として、まず、 v_0 に入らないものを一つ取る。
区間列 w_0 の長さの和＜１より、［０，１）－ v_0 は、非可算個の元を含むから。
次に、［０，１）－ v_1 －｛さっき選んだＶの元と同値な数｝は非可算個の元を含むから、その中からまた一つ選ぶ。
さて、これを繰り返し、任意の順序数α＜ω１に対して、
［０，１）－ v_α－｛今までに選んだＶの元たちのどれかと同値な数｝　・・・※
を考えると、
・今までに選んだＶの元の個数（濃度）＝αの濃度＜ω１　より、
・｛今までに選んだＶの元たちのどれかと同値な数｝の濃度＝（αの濃度）×ω＝ max （αの濃度，ω）＜ω１
よって※はω１個の元を持つから、（勿論空集合ではなく）、その中から一つＶの元を選ぶ。

すると帰納的に、ω１未満の任意の順序数αに対して、［０，１）の元 x_αを一つ対応させることが出来、その全体をＶ０とすると、Ｖ０を（必要なら）拡大して Vitali 集合Ｖをつくることが出来、ＶはＷに属する任意の区間列の union に含まれないから（任意のα＜ω１に対し、x_α は v_αに含まれない）、Ｖの外測度は１である。

よって
【補題３】外測度１の Vitali集合は存在する。
が言えた。

ふう。穴はないかな？

tecchan22 · Answer

・＃１１はちょっと拡張しただけです。
・＃１１のＶがＲ内で有界なときの外測度＞０はほぼ自明と書いたのは嘘でした。済みません。有界・非有界ともに、Ｖの外測度が０になる可能性を僕は否定できていません。（簡単なことなのかもしれませんが）
・＃８以外、連続体仮説は仮定せずにやっています。（＃３の書き方は怪しいが）
・＞素人には近寄りがたい奥の深い問題だったのですね。
素人には近寄りがたいと思われたら、それは僕の書き方が下手なだけです。ただ、ここ数年（非常にのんびりと）ロジック（基礎論）で習ってきたことが、うまく使えた訳で、僕には有利だったですね。数年前にはこういう解答は思い付かなかったと思います。（そもそも順序数を正しく知らなかった）
・整列集合・順序数のことをちょっと勉強したら、簡単なことだと思います。ただ、その辺を簡潔に分かりやすく書いてある日本語の本はなかなか無いようですが。（書いてある本自体余り知らない。松阪和夫の集合・位相入門は数少ない、順序数についてキチンと書いてある本であり、分かりやすさにも定評があるが、人によっては冗長に感じるかも知れない）
・＞実数っていうのは本当に不思議だなぁと感じました。
実数の集合論の入り口へようこそ。
僕が将来研究できたら良いな、と思っている分野です。

tecchan22 · Answer

Ｒ／Ｑを、Ｒの部分加法群ＳでＳの濃度＜アレフなる任意のＳに対するＲ／Ｓに拡張できますね。

つまり、
【定理】ＳをＲの部分加法群で、Ｒの中で稠密かつ（Ｓの濃度）＜アレフとする。
このとき、Ｒの任意の区間Ｉ（Ｉの長さ＞０）に対し、Ｒ／Ｓの代表元の集合Ｖ⊆Ｒを、Ｖ⊆Ｉかつ、（Ｖの外測度）＝（Ｉの長さ）となるように取れる。

さらに、Ｒ／Ｓの代表元の集合Ｖ（任意）は、
・内測度＝０（自明）
・ＶがＲ内で有界なら、外測度＞０（ほぼ自明）
・ＶがＲ内で有界でなければ、外測度＝０になることはあるか？（僕の中では未解決）

tecchan22 · Answer

＃９の中ほど
＞（可算で稠密な全順序集合は、Ｑと順序同型）

は、
可算で稠密で、「最大値・最小値を持たない」全順序集合は、Ｑと同型
のミスですね。

他にも細かいミスがあったら済みません・・。

tecchan22 · Answer

うん、大丈夫ですね。

まず、（０，１）に含まれる開区間列Ｉｎ（ｎ∈Ｎ）で、Ｉｎの長さの和が１未満のものを任意に考えます。（区間の両端は無理数でもいいです）

まず、区間たちの間に、Ｉｎ～Ｉｍ
⇔自然数の有限列k_1,k_2,・・,k_t があって、Ｉｎ∩Ｉk_1≠φ，Ｉk_1∩Ｉk_2≠φ，・・，Ｉk_t-1∩Ｉk_t≠φ，Ｉk_t∩Ｉｍ≠φ
なる同値関係を入れます。

そこで、互いに同値である区間たちは足し合わせて（和集合を作って）、新しい開区間列Ｊｎをつくります。

すると、Ｊｎたちは、互いに共通部分を持たない区間たちになります。

そして、Ｊｎたちの長さの和は、Ｉｎたちの長さの和以下ですから、１未満です。

ここでもし、（０，１）－∪Ｊｎがある区間を含むならば、その濃度はアレフになります。

そこで（０，１）－∪Ｊｎがどんな区間も含まない場合を考えます。つまり、Ｊｎの個数が有限個のときは除かれ、Ｊｎが（０，１）の中に dense に入っていない場合は除かれます。

なぜならば、ある二つの区間ＪｎとＪｍ（ｎ≠ｍ）で、その「間」にどの区間Ｊｋも入らないようなものが存在すれば、そのＪｎとＪｍの間の区間は（０，１）－∪Ｊｎに含まれるからです。

この場合は、｛Ｊｎ：ｎ∈Ｎ｝と、Ｑ（有理数の集合）とが、順序同型になります。
（可算で稠密な全順序集合は、Ｑと順序同型）

さて、任意の実数ｒに対し、それに対応するＱの切断が存在し、それに対応するＪｎたちの切断を考えてそれを、Ａ＝｛Ｊｎ：ｎ∈Ｎ１｝，Ｂ＝｛Ｊｎ：ｎ∈Ｎ２｝（ただしＮ１∪Ｎ２＝Ｎ，Ｎ１∩Ｎ２＝φであり、任意のｘ∈Ｊｎ∈Ａ，ｙ∈Ｊｍ∈Ｂに対し、ｘ＜ｙ）とすると、supA＝infB となり（この値をｘ_ｒとおきましょう）、この値は∪Ａ＝∪［ｎ∈Ｎ１］Ｊｎにも、∪Ｂ＝∪［ｎ∈Ｎ２］Ｊｎにも、含まれません。
（これは、Ａに最大元がある場合も、Ｂに最小元がある場合も、Ａに最大元もＢに最小元もない場合も、同様です）

さて、異なる実数ｒによる異なる切断に対して、ｘ_ｒの値は当然異なりますから、
ｒ→ｘ_ｒ
は、Ｒから（０，１）－∪Ｊｎへの単射になります。
よってこの場合も、（０，１）－ＵＪｎの濃度はアレフになり、＃７の★が言え、＃５，６の穴が埋まりました。^^

tecchan22 · Answer

一つ穴が見つかりました。

＃５の最後の証明で、
［０，１）－ｖ_α
の濃度がアレフである・・・★ことを用いていますが、
これはもしかすると、言えないかも知れません。

※ちなみに、アレフをω１と書くのは良くないですね。＃３に書いたω１も、「最初の非可算順序数」でなくて、「最初の連続体濃度順序数」アレフのつもりでした。
僕が書いたω１は全てアレフとして読んで下さい。

★が言えるかどうかは、現在考え中です。（集合論の人に聞けばすぐ分かりそうですが。もしかしたらＺＦＣから独立な命題かも知れません）

ということで、ひとまず、
●連続体仮説を仮定します。

そうすれば★は言えます。［０，１）－ｖ_α＝ｕの濃度が可算ならば、［０，１）＝ｖ_α∪ｕの外測度は、ｕの外測度が０より、ｖ_αの外測度（＜１）以下となって矛盾します。よってｕの濃度は非可算ですが、連続体仮説を仮定すれば、ｕの濃度はアレフになりますので。

そうすると、＃５・６に書いたことは間違いないですね。

連続体仮説を仮定せずに★がいえるかどうか、また、別の証明がないかどうかは、何か入手したらまたカキコします～。

tecchan22 · Answer

＞区間の種類は開区間のみになっています。

そうでしたか。最初に聞けば良かったですね。

＞したがいまして、補題1の場合分けは不要になりそうです。

そうですね。長さ０のものは考える必要はないですね。

＞それと、区間が[0,1)に含まれるという条件はありませんでしたが、これも証明には影響がないと思います。

開集合だけやと、［０，１）に含まれる開集合だけでは０を覆えないのがちょっと困りますが、そこは少し工夫すれば何とでもなるんで・・。
たとえば、 Vitali集合Ｖから、有理数（１個）を除いた集合Ｖ’を考えて、Ｖの外測度の代わりにＶ’の外測度を考えることにすれば（外測度はどちらも等しいですから）、いいですね。
Ｖ’は（０，１）に含まれますから、Ｖ’を被覆する任意の開区間の列Ｉｎ（ｎ∈Ｎ）に対して、Ｊｎ＝Ｉｎ∩（０，１）とした開区間列Ｊｎ（ｎ∈Ｎ）はやはりＶ’を被覆しますから、外測度を考える上では、（０，１）に含まれる開区間の列だけを考えれば十分な訳です。（外測度は、被覆する区間列の長さの和の inf をとりますから）

＞ただ、V0を拡大する意味がわかりませんでした。V0のままでも、Wに属する任意の区間列のunionに含まれない、と思うのですが。なぜなのでしょうか。そもそも「拡大する」という意味がわかっていないのですが。

Ｖ０はまだ Vitali集合になっていませんので（なっていない可能性がありますので）、あとは好きなように元を付け加えて Vitali集合にする、ということです。
Ｖ０の外測度が１なので、Ｖの外測度も１になります。


一列に並べて順序数上の帰納法（いわゆる超限帰納法）をすることや、対角線論法は、（数学）基礎論では常套手段なので、まあ普通の解法やと思います。（穴がなかったとして）

区間列全体を並べるのは多すぎるから、両端が有理数のものだけにしぼって、一列に並べて、入らない元を取ってゆく、という素朴なアイディアです。^^;

一つ補足をすれば、連続体仮説を仮定すれば、＃５でのαの濃度は、可算（有限かω）になりますから、
［（０，１）の中で、今までに選んだ元のどれかと同値なものの個数（濃度）］＝ω
になります。
回答では連続体仮説を仮定せずにやっています。

また師匠か誰かに話してみて、何かあれば書き込みます。

tecchan22 · Answer

細かい２、３個の修正以外、大丈夫そうですね。

まず補題１の証明の書き方、ちょっと変ですね。

その前に、外測度の定義における、被覆する区間列の区間の種類としては、どのようなものを考えていますか？
（これは多分、流儀によると思うのですが）
たとえば、［ｃ，ｄ）の形のみを考えているのか、それとも、（ｃ，ｄ），（ｃ，ｄ］，［ｃ，ｄ），［ｃ，ｄ］の形全てを考えるのか、長さ０のものは含むのかどうか。

これらはいずれにしても同値になると思いますが、＃５では、一応ｃ≦ｄなるあらゆる形の区間を考えることにしています。

そうすると、
●＃５の補題１の証明で、α＝０のときもあるから、ちょっと書き方を変えねばならない。
●＃５の補題２の証明で、有理数を端点とする区間列から有理数の可算列をつくるところで、［　か（　かの区別をしていないので、修正が必要になる。たとえば開を０閉を１として、（ｃ，ｄ）を０，ｃ，０，ｄ、（ｃ，ｄ］を０，ｃ，１，ｄ、［ｃ，ｄ）を１，ｃ，０，ｄ、［ｃ，ｄ］を１，ｃ，１，ｄなどと表すか。

しかし普通は［ｃ，ｄ）の形の半開区間だけを考えるのかな？

ならば、
●＃５の補題１の証明で、長さ０の区間については考慮する必要はない。

最後の補題３の証明は、超限帰納法です（この名前は、大げさだが）。
ちょっと Broken に書いてあるが、大丈夫やと思います。（正確には、選択公理も使うのかな？）

折角なので、補題３を（大げさだが）定理にして、（全部補題ではね・・）、＃３の最初に書いたことから、

【系】Vitali集合の外測度は、０より大きく１以下の任意の実数値を取り得る。

を得ます。

なんか穴があったら指摘してくださいね。

tecchan22 · Answer

うん、駄目やね。
［０，１）内で、その中の有理数全体を覆う区間の列の和集合も、
同じ性質（任意の区間と非可算個の共通元を持つ）を持ちますからね・・。
もしかして気付いてた？恥ずいのう。

うーん、振り出しやなあ。簡単だと思ったが、良い問題やなあ。
（いや、詳しいｏｒ賢い人がこの問題を見ていないだけの話で、
実は簡単なのかも知れませんが＞＜）

いま僕が分かっているのは、もし外測度αを持つものがあれば、任意の１未満の正の有理数ｑに対し、外測度ｑαを持つものもあるということ
だけですね。

つまり、
Ｍ＝｛ｘ∈Ｒ：ある Vitali 集合Ｖがあって、Ｖの外測度がｘ｝
とおくと、
任意の有理数ｑ（０＜ｑ＜１）に対し、
ｘ∈Ｍ⇒ｑｘ∈Ｍ

これは、任意の Vitali 集合Ｖと任意の有理数ｑ（０＜ｑ＜１）に対し、
Ｖ’＝｛ｑｘ：ｘ∈Ｖ｝
も Vitali 集合になることから言えます。

（一応証明しておくと、
(1)任意のｘ∈Ｒに対し、ｘ／ｑ～ｙとなるｙ∈Ｖがある。このとき、ｘ／ｑ－ｙ＝ｒ（ｒ∈Ｑ）とおくと、ｘ－ｑｙ＝ｑｒ（有理数）となり、ｘ～ｑｙ。よって、任意の実数と同値な元をＶ’は持つ。
(2)次に任意のｘ，ｙ∈Ｖに対し、ｑｘ～ｑｙ⇒ｑｘ－ｑｙ＝有理数⇒ｘ－ｙ＝有理数⇒ｘ～ｙ⇒ｘ＝ｙ（∵ｘ，ｙ∈Ｖであり、Ｖは Vitali 集合だから）⇒ｑｘ＝ｑｙより、Ｖ’は互いに同値な異なる元は持たない。
(1)(2)より、Ｖ’は各同値類の代表元を１つずつ含む。（証明終わり））

う～ん、外測度が正であることの証明、実は僕は知らないんで＞＜
（僕が知っている非可測であることの証明は、完全加法性をみたす測度がつくれないことから示している）、もしよければ、それを下に書いてもらえませんか？参考になるかも知れない。

僕と君とは、知識的に多分ほとんど変わらないんで（君としては残念！でしょうが）、良ければ一緒に考えましょう。

回答数が増えれば、詳しい人の目にもとまるかも知れませんしネ。

tecchan22 · Answer

遅くなってごめん。

まず、外測度１のものＶ１があったとすると、
０より大きく１より小さい任意の実数ａに対し、
Ｖ１の元ｘで、ｘ＞ａなるものをすべて、（０以上）ａ以下の同値な元ｘ’で置きかえたものの一つをＶａとすると、
Ｖａの外測度はａになりますよね。

だから、外測度１のものがある・・・★ことを証明できれば、０より大きく１以下の任意の外測度を取りうることが言える訳です。

さて、★ですが、
まずＲ／Ｑの元の個数は非可算ですから、これを集合Ａｉ（ｉ∈Ｎ，Ｎは自然数の集合）に、各集合の濃度が非可算になるように分割します。
つまり、∪Ａｉ＝Ｒ／Ｑ，Ａｉ∩Ａｊ＝φ（ｉ≠ｊ），各Ａｉの要素の個数は非可算、となるようにＡｉ（ｉ∈Ｎ）を決めます。


※これが出来ることは、例えばＲ／Ｑの元を整列して（選択公理より任意の集合は整列可能）、（最初の極限順序数をω，最初の非可算な順序数をω１として）、順序数０～ω１と一対一に対応させることが出来る。
そこでＲ／Ｑの元をｒ_０，ｒ_１，・・・，ｒ_ω，ｒ_ω＋１，・・，ｒ_ω１とおいて、
Ａｉ＝｛ｒ_α：α＝β＋ｉ（βは極限順序数）｝
とすると目的のＡｉたちを得られる。
もっと簡単な方法があるかも。^^;

そうして、区間 [ k/2^n , (k+1)/2^n ] ＝Ｉ( 2^n + k )  （ｎ，ｋは自然数、ｋ＜ 2^n ）とおき、
Ａ０の元はすべて区間Ｉ（０）から代表元を選び、・・・と、
Ａｉの元はすべて区間Ｉ（ｉ）から代表元を選んだものの一つをＶ１とすると、区間 [ 0 , 1 ) に含まれる任意の区間Ｊに対し（Ｊに含まれる区間Ｉ（ｊ）が存在するから）、Ｖ１∩Ｊは非可算個の元をもつ。

これでＶ１は外測度１になりませんか？

Vitali集合の外測度

えっと、これでいけるかな？

・＃１１はちょっと拡張しただけです。

Ｒ／Ｑを、Ｒの部分加法群ＳでＳの濃度＜アレフなる任意のＳに対するＲ／Ｓに拡張できますね。

＃９の中ほど

うん、大丈夫ですね。

一つ穴が見つかりました。

＞区間の種類は開区間のみになっています。

細かい２、３個の修正以外、大丈夫そうですね。

うん、駄目やね。

遅くなってごめん。

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