表現行列の正確な意味とは?

宜しくお願い致します。

[Q]Let T∈L(V).Write down matrix representation of [T]_β and [T]_β'
given the following basis:
β:v1,v2,…,vn
β':v'1,v'2,…,v'n
という問題なのですがこの場合の表現行列とは何を意図するのかはっきりわかりません。


『[定義]
n次元F線形空間Vの基底を{v1,v2,…,vn}とし、map g:V→F^nを
V∋∀Σ[i=1..n]civi→g(Σ[i=1..n]civi):=t(c1,c2,…,cn) (tは転値行列を表す)
でgを与えるとgは同型写像となる。
ここで{v1,v2,…,vn}の順序を変えるとgは別物になってしまうのでこの順序を込めた
基底
{v1,v2,…vn}をβ:=[v1,v2,…,vn]と表す事にし、このgをβによって決まる同型写像
と呼ぶ事にする。
m次元F線形空間Wの基底をβ':=[w1,w2,…,wm]によって決まる同型写像をh:W→F^mと
し、
線形写像f:V→Wに対し、合成写像hfg^-1:F^n→F^mは線形写像となる。

行列表現とは始集合のF線形空間Vの基底[v1,v2,…,vn]=:βと終集合のF線形空間Wの
基底[w1,w2,…,wm]=:β'とし、f∈L(V,W)において
f(vj)=Σ[i=1..m]aijwi (j=1,2,…,n)で定まる行列(aij)=:Aを
βからβ'へのfによる行列表現という』


だと思います。

つまり、表現行列を正確に述べるには"基底何々から基底何々への線形写像何々による表現行列"
という風に3項目はっきり述べないといけないと思います。
さて、線形変換の場合,
上記の問題文で[T]_βと書いた時、これは
(1)基底βからβへの線形写像Tの表現行列
(2)基底βからβ'への線形写像Tの表現行列
(3)基底β'からβへの線形写像Tの表現行列
のどれを意図しているのでしょうか?

No.1 ベストアンサー 回答者： kabaokaba 回答日時： 2008/01/01 12:55

なんかいろいろ書いてますけど。

。。
一番大事なL(V)の定義が書いてないし・・・
L(V)って何ですか？
双対空間ですか？
それなら「値域」は係数体だから
「自明な基底 1」をとるのです．

この回答へのお礼

御回答有難うございます。

> L(V)って何ですか？

すいませんでした。
L(V)はVからVへの線形写像全体の集合です。

お礼日時：2008/01/02 02:36

No.2 回答者： mtaka_2007 回答日時： 2008/01/02 19:15

英語の問題は、まだ続いていると思います。

線形写像Tの具体的な形があると思います。[T]βは、VとWの基底にβを使った場合の表現行列、[T]β'は、VとWの基底にβ'を使った表現行列、[T]β,β'は、Vの基底にβを、Wの基底にβ'を使った表現行列と思いますが。本のどこかに書かれているはずです。

この回答へのお礼

誠にすいません。
[Q]Let T∈L(V).Write down matrix representation of [T]_β and [T]_β'
given the following basis:
β:v1,v2,…,vn
β':v'1,v'2,…,v'n
は誤植だそうで
[Q] Let T∈L(V).β:=[x1,x2,…,xn],β':=[x'1,x'2,…,x'n] are bases of V. Also T(xi)=x'i (i=1,2,…,n)Show that [T]β=[T]β'.
でした。

[命題]{v1,v2,…,vn}と{w1,w2,…,wm}夫々を有限次元F線形空間V,Wの基底とする。
∀f∈L(V,W),f(vi)=Σ[i=1..n]aij・wiを満たすような行列(aij)∈F^m×nが一意的に存在する。
[定義] {v1,v2,…,vn}と{w1,w2,…,wm}夫々を有限次元F線形空間V,Wの基底とする。
f∈L(V,W)(:VからWへの線形写像全体の集合).f(vj)= wiを満たす行列(a_ij)∈Fm×nが一意的に存在する(∵命題)。その時 (aij)をfの表現行列といい、[f]_{v1,v2,…,vn}_{w1,w2,…,wm}と表記する。
特にV=Wで{v1,v2,…,vn}={w1,w2,…,wm}の時,f∈L(V)の表現行列[f]_{v1,v2,…,vn}_{w1,w2,…,wm}を単に
[f]_{v1,v2,…,vn}と表記する。

これらを踏まえた上で
[解]
T(xi)=x'i (∵仮定) =Σ[j=1..n]aij・xj (i=1,2,…,n (aij∈F)) …(1) (∵x'i∈span{x1,x2,…,xn})
∴ [T]_β=(aij) …(2) (∵[定義])
次にT(x')=T(Σ[j=1..n]aij・xj) (∵(1)) =Σ[j=1..n]aij・T(xj) (∵Tは線形写像)
=Σ[j=1..n]aij・x'j (∵仮定)
∴ [T]_β'=(aij) …(3) (∵[定義])
(2)と(3)から[T]_β=[T]_β' (終)

と上手くいきました。

お礼日時：2008/01/10 08:16